Примеры решения задач.

Задача 1. На столе стоит тележка массой m₁ = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂ = 1 кг?

Дано:	Решение:
m1 = 4 кг m2 = 1 кг а - ?	Д ействующие на систему тел силы изображены на рисунке.. Запишем уравнения движения (второй закон Ньютона):

Выберем систему координат (см. рис) и запишем проекции уравнений движения на оси Х и Y:

0X: m₁a = N.

0Y: 0 = F_T1 – N₁.

m₂a = m₂g – N, откуда N = m₂(g – a).

Найдем ускорение а: m₁a = m₂(g – a); a = m₂g / (m₁+m₂)

Подставляя численные значения, получаем: а = 2 м/с²

Ответ: а = 2 м/с².

Задача 2. Движение тела массой 1 кг задано уравнением . Найти зависимость скорости V и ускорения a от времени. Вычислить силу F, действующую на тело в конце второй секунды.

Дано: кг с
v (t) - ? a(t) - ?

Решение:

Мгновенную скорость находим как производную от пройденного пути по времени:

, .

Мгновенное ускорение равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

.

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: , где , согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда

Подставим численные значения :

(Н).

Ответ: Н.

Задача 3. Наклонная плоскость, образующая угол α = 25º с плоскостью горизонта, имеет длину ℓ = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Дано: α = 25º ℓ = 2 м υ0 = 0 t = 2 с
μ = ?

Р ешение:

На тело действуют силы: cила тяжести m , сила реакции опоры со стороны плоскости и сила трения _тр. Запишем II закон Ньютона:

= m + + _тр = m .

Спроецируем на оси координат:

ОХ: mgsinα - F_тр = ma

ОУ: N - mgcosα = 0

По определению сила трения равна: F_тр = μN

Выразим силу реакции опоры N: N = mgсosα и подставим её в выражение для силы трения:

F_тр = μmgсosα.

Подставим силу трения F_тр и выразим коэффициент трения μ:

mgsinα - μmgcosα = ma => g(sinα – μcosα) = a,

откуда: μcosα = sinα – ,

тогда: μ = tgα – .

Найдём ускорение. При равнопеременном движении перемещение равно:

S = ℓ = υ₀t + = .

Учитывая, что начальноя скорость υ₀ = 0, выразим ускорение:

а = .

Тогда коэффициент трения: μ = tgα –

Подставим численные значения:

μ = tg25 – = 0,4663 – 0,1125 = 0,3538.

Ответ: μ = 0,35.

Задача 4. На концах нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены два тела массой по 240 г. Какой массы добавочный груз был положен на одно из тел, если каждое из них через 2 с прошло путь 1,6 м?

Дано: m1 = m2 = m = 240 г t = 2 с S = 1,6 м	СИ: 0,24 кг
∆m = ?

Решение:

На первое тело действуют силы: сила тяжести m₁ и сила натяжения нити _1.

На второе тело действуют силы: сила тяжести m₂ , вес добавочного груза ₂ и сила натяжения нити ₂. На добавочный груз действуют силы: m₁ - сила тяжести и - сила реакции опоры со стороны второго груза.

Силы натяжения нити со стороны 1^го тела и 2^го тела с добавочным грузом одинаковы и ускорения тел одинаковы (считаем нить невесомой и нерастяжимой):

= = T,

а₁ = а₂ = а₃ = а.

Запишем II закон Ньютона:

для 1^го тела: m₁ + ₁ = m_{1 1} => m + = m

для 2^го тела: m₂ + + ₂ = m_{2 2} => m + + = m

для добавочного груза: ∆m + = ∆m ₃ => ∆m + = ∆m

Спроецируем на ось У, направленную для 1^го тела вверх вдоль нити, а для второго тела и добавочного груза – вниз по нити:

1е тело: Т - mg = ma 2е тело: mg + Р - Т = ma добавочный груз: ∆mg - N = ∆ma .

В соответствии с III законом Ньютона: = - , т.е. сила реакции опоры со стороны 2^го тела на дополнительный груз направлена против веса этого груза (силе тяжести), а их проекции на ось ОХ равны друг другу: N = -(-P) = P

Сложим уравнения, учтём, что N = P = 2ma, получаем: ∆mg - 2ma = ∆ma.

=> ∆m(g - a) = 2ma.

Масса добавочного груза: ∆m = .

Найдём ускорение. По определению перемещение при равнопеременном движении с начальной скоростью υ₀ =0 равно: S = υ₀t + = .

Отсюда выразим ускорение: а = 2s/t². Следовательно, масса дополнительного груза: ∆m = = .

Подставим численные значения:

∆m = = ≈ 0,04262 кг = 42,62 (г).

Ответ: ∆m = 43 г.