1. Закон сохранения импульса.

Суммарный импульс замкнутой системы есть величина постоянная, т.е. с течением времени не изменяется

, (4.20)

Для случая двух тел (N = 2) закон можно записать в виде

, (4.21)

где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный, и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

2. Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел есть величина постоянная, если в системе не действуют неконсервативные силы(например, сила трения).

(4.22)

Для случая двух тел этот закон принимает вид

, (4.23)

где и - энергии тел до и после взаимодействия.

Примеры решения задач.

Задача 1. Какую работу совершит сила тяги 30Н при поднятии по наклонной плоскости груза массой 2кг на высоту 2,5м с ускорением 5 м/с . Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь.

Дано: Н кг м м/с
?

Решение:

Работа силы F равна изменению полной механической энергии груза:

где Е_к0 и Е_п0, Е_к1 и Е_п1 – соответственно, кинетическая и потенциальная энергии груза в начальном (0) и конечном (1) состояниях.

Будем отсчитывать потенциальную энергию от основания наклонной плоскости. Тогда:

Е_п0 = 0, Е_п1 =mgh, Е_к0 =0, Е_к1 = mv₁²/2,

где v₁ - скорость груза в конечной точке. Квадрат этой скорости найдём из кинематического соотношения: , где l – длина наклонной плоскости. Так как v₀ = 0, то .

Учитывая это, выражение для работы можно записать в виде: .

Как видно из рисунка, .

Подставив это значение, получим: .

Чтобы найти , составим уравнение движения груза вдоль оси ОХ:

.

Отсюда: .

_{Окончательно получаем: .}

_{Подставляем численные значения, получаем:}

(Дж).

Ответ: A=73.5 Дж.

Задача 2. Граната, летящая со скоростью v = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок массой m₁, составляющий 60% от массы гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью v₁=25м/с. Найти скорость меньшего осколка v₂.

Дано: v = 10 м/c v1 = 25 м/c
v2 - ?

Решение:

П рименим закон сохранения импульса:

,

т.е., импульс гранаты равен сумме импульсов осколков:

.

По условию, векторы скоростей направлены вдоль одной и той же прямой. Поэтому можно выбрать систему отсчета таким образом, чтобы ось Х была направлена вдоль этой прямой (см. рис.). Спроецируем уравнение на эту ось:

ОХ: mv = m₁v₁ + m₂v₂.

_{Выразим массы m1 и m2 через массу m, получаем:}

mv = 0.6mv₁ + 0.4mv₂.

Делим левую и правую части уравнения на m, получаем:

v = 0.6v₁ + 0.4v₂.

Выражаем скорость второго осколка:

v₂ = (v- 0.6v₁)/0.4.

Подставим числовые значения:

(м/с).

Знак "минус" показывает, что направление движения меньшего осколка противоположно направлению оси X.

Ответ: v₂ = -12,5м/с.

Задача 3. Снаряд массой m = 10 кг обладал скоростью v = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m₁ = 3 кг получила скорость u₁ = 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u₂ второй, большей части после разрыва.

Дано: m = 10 кг v = 200 м/с m1 = 3 кг u1 = 400 м/с
u2 = ?

Р ешение:

По закону сохранения импульса:

Спроецируем на ось OX и

выразим скорость больше

го осколка:

=> => .

Выразим массу большей части снаряда: m₂ = m –m₁, окончательно:

.

Подставим численные значения:

= ≈ -114,3 (м/с).

Примечание: Знак «-» свидетельствует о том, что 2^й осколок, больший, полетит вдоль оси Х, т.е. в том же направлении, что и меньший осколок снаряда.

Ответ: u₂ = 114 м/с.

Задача 4. Камень брошен с высоты h=2м под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v₀ = 6м/с. Найти скорость v камня в момент падения на землю, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Дано: h = 2 м v0 = 6 м/с
v - ?

Решение:

В течение всего времени полёта на камень действует только сила тяжести _,.которая является консервативной силой. Поэтому при решении данной задачи можно применить закон сохранения энергии:

0,

где и соответственно изменения кинетической и потенциальной энергий системы.

Рассмотрим значение каждого слагаемого выражения. Скорость камня изменилась от значения v₀ в первом состоянии до значения v во втором. Следовательно, изменение кинетической энергии:

,

где m-масса камня. Потенциальная энергия системы уменьшилась при переходе из первого состояния во второе, так как высота уменьшилась от значения h до 0. Следовательно,

.

Подставляем Е_к и Е_п:

Окончательно получаем:

.

Подставляем численные значения:

м/c

Ответ: v = 8,6 м/с.