5. Матрица выигрышей. Представление игр в нормальной форме

В теории игр, игра в нормальной форме (или стратегической форме) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. Таким образом, игру в нормальной форме можно представить в виде n-мерной матрицы (таблицы), элементы которой это n-мерные платежные вектора.

В конечной антагонистической игре с игроками A и B можно строки некоторой матрицы поставить в соответствие стратегиям игрока A, а столбцы – в соответствие стратегиям игрока B. Если на пересечениях строк и столбцов расставить значения функции выигрыша игрока A, соответствующие игровым ситуациям , то получим матрицу A, которая называется матрицей выигрышей игрока A:

.

Числа а_ij – это значения выигрыша игрока А. Ходы игроков с сознательным выбором одной из возможных своих стратегий иногда называют личными ходами.

Аналогичным образом, из значений функции выигрышей игрока B, можно составить матрицу B выигрышей игрока B:

.

В силу равенства

.

Таким образом, матрица B определяется матрицей A и поэтому конечная антагонистическая игра характеризуется фактически только одной матрицей выигрышей и силу этого называется матричной.

Матрица А имеет размер mxn, где первая компонента указывает на число строк, а вторая - на число столбцов. Матрица игры существенно зависит от упорядочения множеств S_A^C, S_В^C. При другой нумерации стратегий этих множеств возможно получить другую матрицу. Так что одна и та же игра может описываться различными матрицами.

Игрой в нормальной форме называется совокупность , где N - множество всех игроков; U_i - множество стратегий i— го игрока; g_i - функция выигрыша i — го игрока, которую он стремится максимизировать.

Обычно игроков нумеруют в произвольном порядке от 1 до n (n — число игроков), поэтому N={1,2, ...,n}. Стратегия i— го игрока для игры в нормальной форме сводится к одноактному выбору любой точки из множества U_i. Функция выигрыша ставит в соответствие каждому элементу и=(u₁,...,u_n) из множества называемому исходом или ситуацией игры, действительное число. Таким образом, g_i есть однозначное отображение множества U→R.

Исходная постановка игры в нормальной форме не предполагает никакой дополнительной информации у игроков о действиях друг друга. Поэтому можно считать, что все игроки одновременно и независимо осуществляют выбор своих стратегий, т.е. элементов u_i ∈ U_i. В результате складывается ситуация и, однозначно определяющая выигрыши всех игроков g₁(u),...g_n(u).

Рассмотрим парную игру с игроками А и В. Пусть игрок А имеет т стратегий ={А₁, A₂, ..., А_т}, а (противник) игрок В - п стратегий ={В₁, B₂, ..., В_п}. Натуральные числа т и п в общем случае никак не связаны между собой.

Если каждый из игроков А и В сознательно определенным образом выбирает стратегии А_i и В_j соответственно, то сложившаяся ситуация (в чистых стратегиях) (А_i,B_j) однозначно определяет выигрыш игрока А, выражающийся действительным числом а_ij, которое одновременно является и проигрышем игрока В. А число (-a_ij) выражает проигрыш игрока А и выигрыш игрока В. Если число a_ij отрицательно, то в принятой нами формализованной терминологии оно будет представлять отрицательный выигрыш игрока А, а по сути - его проигрыш. Числа а_ij - это значения функции выигрыша F_A игрока A: F_A(i, j) = F_A(A_i, B_j) = а_ij. Ходы игроков с сознательным выбором одной из возможных своих чистых стратегий называют иногда личными ходами.

Выигрыши a_ij, i = 1, ..., m, j = 1, ...,n, можно расположить в виде матрицы, номера строк которой соответствуют номерам стратегий игрока А, а номера столбцов - номерам стратегий игрока В.

Bj A A= i	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Матрица А называется матрицей выигрышей игрока A.

Обозначим через b_ij значения функции выигрыша F_B игрока В, т. е. F_B(j, i) = F_B(В_j, A_i) = b_ji, j = 1, ..., n, i = 1, ..., т. Тогда матрица выигрышей игрока В будет иметь вид

Ai Bj B=	A1	A2	…	Am
B1	b11	b12	…	b1n
B2	b21	b22	…	b2n
…	…	…	…	…
Bn	bn1	bn2	…	bnm

Если рассматриваемая игра - антагонистическая (т.е. с нулевой суммой выигрышей), то функции выигрышей F_A и F_B игроков А и В связаны между собой равенством F _B(B_j, A_i) = -F_A(A_i, B_j), i = 1, …, m, j = 1, ..., n и, следовательно,

b_ji = F_B(B_j, А_i) = -F_A(A _i , B_j) = -а_ij, i = 1, ..., т, j = 1, ..., n.

Эти равенства означают, что матрица выигрышей В игрока В является противоположной транспонированной матрице A: B = -A^T.

Таким образом, матрица В вполне определяется матрицей А. Матрицу А также называют матрицей игры, или платежной матрицей. Матрица А имеет размер т × п, где первая компонента размера т указывает на число строк (т.е. число стратегий игрока А), а вторая п - на число столбцов (число стратегий игрока В). Поэтому часто такую игру называют т × п - игрой.

Отметим, что матрица игры существенно зависит от упорядочений множеств и стратегий игроков А и В. При другой нумерации стратегий этих множеств мы получим, вообще говоря, другую матрицу игры. Так что одна и та же игра может описываться различными матрицами. Но при всевозможных матрицах игры функция F_A выигрыша игрока А остается одной и той же, определенной на декартовом произведении × с множеством значений в множестве действительных чисел R . Это замечание относится и к функции F_B выигрыша игрока В.

Всякую конечную антагонистическую игру можно привести к матричной форме.

Матрица игры А формируется в зависимости от значений функции выигрыша F_A, которая может задаваться таблично, аналитически (в виде формулы) или словесно-описательным способом.