8. Показатели эффективности чистых стратегий. Максиминные и минимаксные стратегии.

Рассмотрим матричную m × n - игру с игроками А и В, в кото­рой игрок А обладает m чистыми стратегиями ={А₁, ..., А_m}, a игрок В - n чистыми стратегиями ={В₁, ..., В_n}. Значения функции выигрыша игрока A обозначим через а_ij, т. е. F_A(i, j) = а_ij, и тогда матрица игры будет иметь вид

Bj A A = i	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Перед игроком А стоит задача выбора чистой стратегии из множества , эффективной в определенном смысле, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный выигрыш. Если игрок А выбрал стратегию А_i (i =1, …, m),, то его выигрышем может быть один из выигрышей

а_i1, а_i2, …, а_in,

расположенных в i-й строке матрицы, в зависимости от выбранной игроком В стратегии. Предполагая поведение игрока А крайне осмотрительным, необходимо считать, что игрок В сыграет наилучшим для себя образом и на выбор игроком А стратегии А_i выберет ту стратегию B_j, при которой выигрыш игрока А окажется минимальным. Обозначим минимальный среди выигрышей через α_i:

и назовем его показателем эффективности стратегии А_i.

Продолжая действовать разумно, игрок А должен выбрать ту стратегию, которая максимизирует показатель эффективности, т.е. для которой число α_i максимально. Если обозначить это максимальное число через α:

тогда

Описанный принцип выбора эффективной стратегии игроком А называется максиминным принципом, а выигрыш α - максимином. Стратегия соответствующая максимину α, т. е. стратегия номер i₀ которой максимизирует показатель эффективности α_i, т. е.

называется максиминной стратегией игрока А.

Пусть игрок А выбрал максиминную стратегию а игрок В - какую-то произвольную стратегию B_j, j = 1, ..., п. Тогда в создавшейся ситуации ( B_j) выигрыш игрока А в чистых стратегиях будет для которого в силу равенств и будет справедливо неравенство

Данное неравенство означает, что если игрок А в игре будет следовать максиминной стратегии, то ему при любой игре противника В гарантирован выигрыш в чистых стратегиях, не меньший максимина α. Именно поэтому максимин α, определяемый по формуле , называют нижней ценой игры в чистых стратегиях.

Теперь рассмотрим игру с точки зрения игрока В, который стремится минимизировать выигрыш игрока А, исходя из посылки, что игрок А играет наилучшим для себя и наихудшим для игрока В образом. Если игрок В выберет стратегию , то выигрышем игрока А может быть один из

а_1j, а_2j, …, а_mj,

выигрышей, стоящих в j-м столбце игровой матрицы, в зависимости от того, какой стратегии будет придерживаться игрок А. Но так как игрок В предполагает, что игрок А играет наилучшим для себя образом, то выигрышем игрока А будет максимальное из чисел а_1j, а_2j, …, а_mj; обозначим его через β_j:

и назовем показателем неэффективности стратегии В_j. Таким образом, для любой стратегии B_j игрока В наибольший его проигрыш равен β_j. В интересах игрока В - выбрать стратегию с минимальным показателем неэффективности. Наименьшее из чисел обозначим β:

Отсюда в силу формулы получим для β выражение:

Выбор игроком В стратегии с наименьшим показателем β_j оправдывает то, что он назван показателем неэффективности.

Критерий выбора эффективной стратегии для игрока В называется минимаксным принципом, а выигрыш β называется минимаксом. Стратегия для которой

называется минимаксной стратегией игрока В.

При выборе игроком В стратегии , его проигрышем может быть один из проигрышей а_1j, а_2j, …, а_mj, или, другими словами, его выигрышем может быть один из выигрышей

b_j1 = -a_1j, b_j2 = -a_2j, ..., b_jm = -a_mj.

Тогда показателем эффективности стратегии B_j (относительно выигрышей игрока В) будет минимальное из этих чисел, которое, в силу обозначения , можно представить так:

а максимином будет число выражающееся иначе следующим образом:

Таким образом, показатель эффективности стратегии B_j (относительно выигрышей игрока B) противоположен показателю неэффективности стратегии B_j (относительно проигрышей игрока В) и максимин (относительно выигрышей игрока В) противоположен минимаксу (относительно проигрышей игрока B).