1. Введение

Современная практика ставит перед специалистами технического профиля с высшим и средним специальным образованием задачи, связанные с расчетом элементов конструкций на прочность, в чем им поможет методическое пособие, дающее возможность лучше организовать самостоятельную работу на практических занятиях, при выполнении домашних расчетно-практических заданий. Каждый новый тип задач объясняется на конкретном примере с подробными пояснениями, что дает возможность рассмотреть наиболее типичные задачи по каждому разделу.

В пособии приводится минимум теории, который необходим для решения задачи и расчетно-справочные данные, уделено внимание методам самоконтроля решения задач.

Знания и навыки, полученные студентами при решении задач, найдут применение в процессе изучения специальных предметов и при выполнении выпускных квалификационных работ.

2. Осевое растяжение – сжатие.

Краткие теоретические сведения.

Методика прочностного анализа любой конструкции осуществляется в следующей последовательности.

1. Определяют внешние силы и реакции связей и изображают их на рисунке.

2. Строят графики (эпюры) распределения внутренних силовых факторов, действующих в поперечных сечениях, по длине бруса.

3. Строят графики (эпюры) распределения напряжений вдоль оси бруса и определяют максимальное напряжение по модулю и выполняют проверку прочности в местах максимальных значений напряжений.

4. Определяют деформации на каждом участке бруса, строят график (эпюру) деформаций, находят максимальное значение деформаций и выполняют проверку в сечениях условий жесткости.

При работе бруса на растяжение и сжатие в его поперечных сечениях возникают продольные силы N. Продольные силы в произвольном поперечном сечении бруса численно равны алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, взятых по одну сторону от сечения, при растяжении продольные силы положительные, при сжатии – отрицательные.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня определяются по формуле

где N – продольная сила; A – площадь поперечного сечения.

Условие прочности при осевом растяжении – сжатии

где [σ] – допускаемое напряжение.

Исходя из условия прочности, можно решить три типа задач:

1) проверить прочность бруса, т.е. σ_max ≤ [σ];

2) подбор сечения

3) определение допускаемой нагрузки, т.е. грузоподъемности бруса [N] ≤ [σ]·А, при сжатии N и [σ] подставляют в условие прочности без учета знаков, т.е. по модулю. Абсолютное удлинение Δℓ участка стержня длинной ℓ, определяется по закону Гука

где Е – модуль продольной упругости материала бруса. Перед подстановкой числовых значений в форму необходимо все исходные величины привести к единым согласованным единицам измерения.

2.1. Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Задача 1.

Для ступенчатого бруса Е=2·10⁵ МПа, σ_т= 240 МПа, требуется определить:

1. Внутренние продольные силы по его длине и построить эпюру продольных сил.

2. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру нормальных напряжений.

3. Запас прочности для опасного сечения.

4. Перемещения сечений и построить эпюру перемещений.

Данные для расчета F₁ = 30кН; F₂ = 20кН; F₃ = 60 кН; ℓ₁ = 0,5м; ℓ₂ = 1,5м; ℓ₃ = 1м; ℓ₄ = 1м; ℓ₅ = ℓ₆ = 1м; d₁ = 4см; d₂ = 2см.

Решение.

1. Определение продольных сил в характерных сечениях бруса, и построение эпюры продольных сил.

Изображаем расчетную схему (рис. 1,а) и определяем реакцию опоры в заделке, которую направляем с внешней стороны заделки влево. Если в результате определения реакции R_В окажется отрицательной, то это указывает на то, что ее направление противоположно. Ступенчатый брус под действием

сил F₁, F₂, F₃ и реакции R_В находятся в равновесии, поэтому для определения R_В достаточно составить одно уравнение проекций всех сил на ось х, совпадающую с осью бруса.

откуда

Разграничим брус на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения (рис. 1,а)

Пользуясь методом сечений, определяем для каждого участка величину и знак продольной силы. Проведем сечение 1–1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части бруса (рис. 1,б). Внутренние силы в каждом сечении условно направляем в сторону отброшенной части. Если внутренняя продольная сила положительна на участке, имеет место деформация растяжения; отрицательна – сжатие.

Рассматривая правую отсеченную часть, находим

; (сжатие)

Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из отсеченных частей мы рассматривали. Целесообразнее всегда рассматривать ту часть бруса, к которой приложено меньше сил. Проведя сечения в пределах второго, третьего и четвертого участков, аналогично найдем:

для сечения 2–2 (рис. 1,в)

; (растяжение).

для сечения 3–3, рассматриваем левую часть бруса (рис. 1,г)

; (растяжение).

для сечения 4–4 (рис. 1,д)

; эта часть бруса не испытывает деформации.

После определения внутренних продольных сил в характерных сечениях, строят график их распределения по длине бруса. График, показывающий, как изменяются продольные силы (N) при переходе от одного сечения к другому, т.е. график, изображающий закон изменения N вдоль оси бруса, называется эпюрой продольных сил.

Эпюра продольной силы строится в следующей последовательности. В разграниченном на участки брусе провести через точки приложения внешних сил линии, перпендикулярные его оси. На некотором расстоянии от оси бруса провести линию параллельную его оси: на перпендикуляре к этой линии отложить в выбранном масштабе отрезок, соответствующий продольной силе для каждого участка: положительные вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз. Через концы отрезков провести линии, параллельные оси. Ось эпюры проводят тонкой линией, а саму эпюру очерчивают толстыми линиями, эпюру штрихуют тонкими линиями, перпендикулярными ее оси. В масштабе каждая линия равна продольной силе в соответствующем сечении бруса. На эпюре указывают знаки плюс и минус и в характерных ее точках, где изменяется сила, проставляют ее значение. В сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы, на эпюре имеются скачки – резкое изменение продольной силы "Скачок" продольной силы равен внешней силе, приложенной в данном сечении, что является проверкой правильности построенной эпюры. На (рис. 2,б) построена эпюра продольных сил для задан-ного ступенчатого бруса.

2. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения на каждом участке определяем по формуле , подставляя в ее значение сил (в Н) и площадей (в мм²). Площади поперечных сечений бруса определяем по формуле

тогда

Нормальные напряжения на участках I–VI равны соответственно:

I. т.к. N₄ = 0

II.

III.

VI.

V.

VI.

В пределах каждого участка напряжение одинаково, так как одинаковы во всех сечениях значения продольной силы и площади поперечного сечения. Эпюра σ очерчена прямыми, параллельными ее оси. Построение по вычисленным значениям эпюры представлена на (рис. 2,в).

3. Определение запаса прочности для опасного сечения.

Из эпюры нормальных напряжений, построенной по длине бруса видно, что наибольшее напряжение возникает в пределах четвертого участка , следовательно, запас прочности

n = σ_т / σ_max = 240 /159,2 = 1,5.

4. Определение перемещений сечений и построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения крайних сечений каждого участка. Перемещение сечения определим как алгебраическую сумму деформаций участков стержня, расположенных между этим сечением и заделкой, т.е. неподвижным сечением.

Абсолютные перемещения сечений вычислим по формулам:

Эпюра продольных перемещений представлена на (рис. 2,г). В случае проверки жесткости следует сравнить полученное максимальное значение Δℓ = 1,55 мм с допускаемым [Δℓ] для данного бруса.