2.3. Статически неопределимые системы.

В задачах 1–6 были рассмотрены примеры расчета на прочность и определение перемещений конструкций, в которых применение метода сечений позволяло установить зависимость между продольными силами, возникающими в поперечных сечениях стержней, и действующими на систему (конструкцию) внешними силами, т.е. внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса). Такие системы принято называть статически определимыми.

В статически определимых системах, если тело нагружено плоской системой сил, достаточно наложить на него три связи, а нагруженного пространственной системой сил – шесть связей. Поэтому для таких систем можно составить, соответственно, три и шесть уравнений равновесия. Между тем, встречаются случаи, когда из конструктивных соображений, накладывается связей больше, чем необходимо для равновесия тела. Для определения внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержней, в таких случаях уравнений равновесия статики оказывается недостаточно.

Системы, в которых внутренние силовые факторы, а при осевом растяжении – сжатии, продольные силы не могут быть определены только с помощью уравнений равновесия и метода сечений, называют статически неопределимыми.

Степень статической неопределимости системы равна разности между числом неизвестных сил и независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы.

В любой задаче число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Поэтому в статически неопределимых системах, чтобы определить усилия во всех тех стержнях следует составлять помимо уравнений статики, еще и уравнения дополняющие уравнения равновесия до числа неизвестных сил. Эти уравнения, основанные на рассмотрении деформаций системы, называют уравнениями перемещений или уравнениями совместности деформации, т.к. они устанавливают связь между деформациями отдельных стержней системы или перемещениями сечений бруса.

Надо иметь ввиду, что нет возможности дать исчерпывающие методические указания, пригодные для всего многообразия статически неопределимых задач. Однако рассмотрение трех конкретных примеров – бруса жестко закрепленного по концам и жесткой балки, подвешенной на стержнях и стержневой конструкции позволяет получить достаточное представление о методике решения статически неопределимых задач. При этом статически неопределимые конструкции, элементы которых работают на растяжение и сжатие, будем рассчитывать, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

Рассмотрим примеры расчета таких конструкций.

Задача 7.

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F₁ и F₂ приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 8,а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Проверить прочность бруса если материал – сталь ст.3, F = 80кН, σ_т = 240МПа, А = 4см², а = 1м, требуемый коэффициент запаса [n] = 1,4, Е = 2·10⁵ МПа.

Решение.

1. Статическая сторона задачи.

Поскольку силы F₁ и F₂ действуют вдоль оси стержня на его концах, под действием сил F₁ и F₂ в заделках могут возникнуть только горизонтальные опорные реакции R_А и R_В. В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой (рис. 8,а), для которой статика дает лишь одно уравнение равновесия.

ΣF_ix = -R_А + F₁ + F₂ – R_В = 0; R_А + R_В = F₁ + F₂ = 3F (1)

Неизвестных реактивных сил две R_А и R_В, следовательно, система один раз статически неопределима, т.е. необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

2. Геометрическая сторона задачи.

Для раскрытия статической неопределимости, т.е. составления уравнения перемещений, отбросим одну из заделок, например правую (рис. 8,б). Получаем статически определимый брус, заделанный одним концом. Такой брус называют основной системой. Действие отброшенной опоры заменяем реакцией R_В = Х. В результате имеем статически определимый брус, нагруженный кроме заданных сил F₁ и F₂ неизвестной реактивной силой R_В = Х. Этот статически определимый брус нагружен так же как заданный статически неопределимый, т.е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый, т.е. перемещение ∆_В – сечения В равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) оно жестко заделано: ∆_В = 0.

На основе принципа независимости действия сил (результатом действия на тело системы сил не зависит от последовательности их приложения и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности) перемещение сечения В представим как алгебраическую сумму перемещений от сил F₁, F₂ и Х, т.е. уравнение совместности деформаций примет вид:

(2)

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (силы F₁, F₂ и Х).

3. Физическая сторона задачи.

На основании закона Гука выражаем перемещения сечения В, через действующие силы F₁, F₂ и неизвестную реакцию Х.

На (рис. 8 в, г, д), показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности и перемещения сечения В от этих сил.

Пользуясь этими схемами, определяем перемещения:

равно удлинению участка АС;

равно удлинению участков АД и ДЕ;

равно сумме укорочений участков АД, ДК, КВ.

4. Синтез.

Подставим значения , , в уравнение (2), имеем

(3), откуда .

Следовательно: ;

Подставляя R_В в уравнение (1), получим:

R_А + 66,7 =3·80 = 240

отсюда R_А =240–66,7=173,3 кН, R_А = 173,3 кН, таким образом, статическая неопределимость раскрыта – имеем статически определимый брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами F₁, F₂ и Х = 66,7 кН.

Эпюру продольных сил строим как для статически определимого бруса, подробно об этом мы рассматривали в задаче 1. На основании метода сечений внутренние продольные силы в характерных участках равны:

N_АС = R_А = 173,3 кН;

N_СЕ = R_А - 2F = 173,3 - 80·2 = 13,3 кН;

N_ЕВ = -R_А = - 66,7 кН.

Эпюра продольных сил представлена на (рис. 8,е). Значения нормальных напряжений в характерных сечениях определяем по формуле

Для участка АС

;

для участка СД

для участка ДЕ

для участка ЕК

для участка КВ

В пределах каждого из участников напряжения постоянны, т.е. эпюра "σ" – прямая, параллельная оси бруса (рис. 8, ж).

При расчете на прочность интерес представляют те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. В рассмотренном примере они не совпадают с теми сечениями, в которых продольные силы максимальны, наибольшее напряжение возникает на участке ЕК, где σ_мах = - 166,8 МПа.

Из условия задачи следует, что предельное напряжение для бруса

σ_пред = σ_т = 240 МПа, поэтому допускаемое напряжение

Отсюда следует, что расчетное напряжение σ = 166,8 МПа < 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перегрузка или недогрузка допускается в пределах ± 5%.

При построении эпюры перемещений достаточно определить перемещения сечений совпадающих с границами участков, так как между указанными сечениями эпюра ∆ℓ имеет линейный характер. Начинаем строить

эпюру перемещений от левого защемленного конца бруса, в котором ∆_А = 0; так как оно неподвижно.

Итак, на правом конце бруса в сечении В, ордината эпюры ∆ℓ равна нулю, так как в заданном брусе это сечение жестко защемлено, по вычисленным значениям построена эпюра ∆ℓ (рис. 8, з).

Задача 8.

Расчет статически неопределимой конструкции.

Для заданной статически неопределимой стержневой системы (рис. 9) требуется:

1. определить усилия и напряжения в поперечных сечениях стержней, выразив их через q, при этом горизонтальный брус, подвешенный на стержнях, считать абсолютно жестким;

2. из условия прочности стержней определить допускаемое значение [q], если предел текучести σ_т = 240 МПа, коэффициент запаса прочности к_т = 1,5, а = 2,5 м, А = 350 мм².

Решение.

1) Определение усилий и напряжений в стержнях. Из расчетной схемы стержневой системы следует, что при нагружении абсолютно жесткого бруса ДС, равномерно – распределенной нагрузкой q в стержнях 1, 2, 3, которые имеют шарнирные крепления, по концам возникнут осевые усилия N₁, N₂, N₃

растяжения или сжатия. Найдем усилия в стержнях. Конструкция один раз статически неопределима, так как имеет одну лишнюю связь.

1. Статическая сторона задачи.

Мысленно разрезаем каждый стержень поперечным сечением (рис. 9, б) и заменяем действие отброшенной верхней части продольными силами N₁, N₂, N₃ (силы направляем от сечения, т.е. считаем их положительными, а стержни работающими на растяжение). Условия равновесия балки, а в данном случае системы параллельных сил (N₁, N₂, N₃ и q) будут

ΣF_iy = N₁ + N₂ + N₃ - q·2а = 0; (1)

ΣМ_Д(F_i) = N₂·2а + N₃· 3а – q ·2а· а = 0 (2)

так как в качестве центра момента выбрана точка Д, через которую проходим линия действия силы N₁, то в уравнении (2) неизвестных будет меньше.

Оставив в левой части в качестве неизвестных N₁, N₂, N₃, уравнения (1) и (2) приведем к виду:

N ₁ + N₂ + N₃ = 2·qа (3)

2·N₂ + 3 ·N₃ = 2·qа

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными, которая методами статики не решается.

2. Геометрическая сторона задачи.

Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между деформациями стержней 1, 2, 3. Полученное уравнение называем уравнением совместности деформаций. Уравнение в деформациях составляем из предположения, что балка как жесткое целое переместится вниз и повернется относительно почки Д (рис. 9, в). Тогда из подобия треугольников В₁В₂Д₁ и С₂С₁Д₁ следует,

или

Из пропорции получаем 3·(∆ℓ₂ - ∆ℓ₁) = 2·(∆ℓ₃ - ∆ℓ₁), приведя подобные члены, имеем ∆ℓ₁ - 3∆ℓ₂ + 2∆ℓ₃ = 0 (4)

Уравнение (4) представляет собой уравнение совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи.

На основании закона Гука выражаем деформации стержней через действующие в них неизвестные усилия. По закону Гука

поэтому ; ; ; (5)

т.к. ℓ₁=ℓ₂=2ℓ; ℓ₃=ℓ; Е₁=Е₂=Е₃=Е; А₁=А₂=А; А₃=2А, то подставив соотношения (5) в уравнение (4), получим

или 2 N₁ - 6 N₂ + N₃ = 0 (6)

Синтез. Решая совместно статические, геометрические и физические уравнения, находим неизвестные усилия.

П рисоединяем уравнение (6) к уравнению (3)

N₁ + N₂ + N₃ = 2·qа

2N₂ + 3N₃ = 2·qа (7)

2N₁ - 6N₂ + N₃ = 0

Р ассмотрим уравнение (1) и (3) этой системы

N₁ + N₂ + N₃ = 2 qа

2 N₁ - 6 N₂ + N₃ = 0

Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него 2^ое уравнение, получим:

8N₂ + N₃ = 4·qа (8)

Полученное уравнение рассмотрим с уравнением (2) системы (7)

8 N₂ + N₃ = 4·qа

2N₂ + 3N₃ = 2·qа ·4

Умножим второе уравнение на 4 и вычтем из первого второе, получим

-11·N₃ = - 4·qа ;

Подставив N₃ в уравнение (8), получим:

; ;

Подставив N₃ и N₂ в первое уравнение системы (7), определим N₁

; .

Замечание.

Выбор схемы деформированной стержневой конструкции при моделировании нагружения не имеет принципиального значения.

Определяем напряжение в стержнях конструкции

;

;

.

2) Определение допускаемого значения нагрузки [q].

Определяем допускаемое напряжение по заданному пределу текучести и коэффициенту запаса прочности

Из условия прочности при растяжении или сжатии максимальное напряжение не должно превышать допускаемого, т.е. σ_мах ≤ [σ].

Из полученных значений напряжений в пункте (2), видно, что

поэтому ,отсюда

Ответ [q] = 19 Н/мм = 0,019 Н/м.

Задача 9.

Три стержня, шарнирно скрепленные в одной точке (рис. 10), имеют одинаковые поперечные сечения. Определить площадь поперечного сечения, принимаем [σ] = 160 МПа, F = 120 кН.

Решение.

Из расчетной схемы конструкции, в которой стержни в узлах закреплены шарнирно и нагружены в узле С силой F, следует, что в стержнях будут возникать только осевые усилия. Определение площади поперечного сечения при растяжении или сжатии (проектный расчет) выполняют по условию прочности

,

откуда, если известно усилие N, определяют необходимую площадь

Найдем усилия в стержнях конструкции.

1. Статическая сторона задачи. Вырезаем узел С (рис. 10,б) и составляем два уравнения равновесия действующих на него сил, как для плоских систем сходящихся сил, предполагая, что стержень 1 – растянут, а стержни 2 и 3 – сжаты:

ΣF_ix = N₂ ·sinα – N₃ ·sinα = 0 (1)

ΣF_iy = N₁ + N₂·cosα + N₃·cosα = 0 (2)

из уравнения (1), получаем N₂ = N₃.

В результате остается одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:

N₁ + 2·N₂·cosα = F (3)

Получим на основе уравнений статики одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому система один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи. Так как система симметрична относительно оси первого стержня и боковые стержни сжимаются одинаковыми силами, то под действием силы F узел С при деформации стержней опустится по вертикали на величину ∆ℓ₁. Все стержни деформируются и займут положение, показанные на (рис.10,в) штриховыми линиями. Укорочения боковых стержней получим, если из точек Д и В радиусом, равным ДС или ВС, проведем дуги через точки С₁ и сделаем засечки на длинах ДС и ВС. Ввиду малости деформаций можно считать, что углы между осями стержней не изменяются, а проведенные дуги заменяются перпендикулярами. Из прямоугольного треугольника СКС₁, имеем:

; или (4)

3 . Физическая сторона задачи. Удлинение стержней выразим по закону Гука через действующие усилия:

; , так как А₁ =А₂ =А, ;

Синтез. Подставляя ∆ℓ₂ и ∆ℓ₁ в уравнение (4) получим

или (6)

П рисоединив уравнение (6) к уравнению (3), получим

N₁ + 2·N₂ ·cosα = F (7)

N₁·cosα - N₂ = 0

Подставим N₂ = N₁·сosα в первое уравнение системы (7)

N₁ + 2·N₁·сos²α = F

отсюда

Так как площади стержней одинаковы, то максимальное напряжение возникает в первом стержне

отсюда

Итак А = 3 см².