Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_x a+0f(x) или lim_x a-0f(x)

равен + или -.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_x 2+01/(x-2) = +, lim_x 2-01/(x-2) = - (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+ (x),

где lim_{x} (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_xf(x)/x = k, lim_x(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+(x),

тогда

lim_xf(x)/x = (kx+b+(x))/x = k,

lim_x(f(x)-kx) = lim_x(b+(x)) = b.

2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x. Обозначив f(x)-kx-b = (x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_x 3 05x/(x-3) = .

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_xy/x = lim_x5x/x(x-3) = 0. b = lim_x(y-kx) =lim_x5x/(x-3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

Общая схема исследования функций и построение их графиков

Для построения графика функции нужно провести следующие исследования:

1. Найти область определения функции.

2. Найти область значения функции.

3. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти точки экстремума функции, установить интервалы монотонности функции.

7. Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы выпуклости.

8. Найти точки пересечения с осями координат.

По полученным данным можно построить эскиз графика данной функции. Для примера построим график функции y = 2x³/(x²-4).

1. Функция определена и непрерывна при всех x R, кроме точек x =  2.

2. Область значения функции -  y R.

3. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести ииследование в интервале [0,).

4. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.

lim_x 2 02x3/(x2-4) = .

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_xy/x = lim_x2x2/(x2-4) = 2, b = lim_x(y-2x) = lim_x8x/(x2-4) = 0,

то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.

5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную

y' = (6x2(x2-4)-4x4)/(x2-4)² = 2x2(x2-12)/(x2-4)².

В промежутке [0,) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2  и обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2) и (2,2 ) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2 ,) больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x = 2  является точкой минимума.

6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную

y'' = 16x(x2+12)/(x2-4)³.

Вторая производная y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале (2,2 ) и (2 ,) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.

7. y(2 ) = 6 , y(0) = 0.

Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим график (рис.29).

Упражнение 1. Провести исследование функций и построить их графики:

1. y = x⁶-3x⁴+3x²-5;

2. y = x²e^1/x;

3. y = x+ln (x²-1);

4. y = 1/2sin 2x+cos x.