Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции  , где   и   принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть,  .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала  .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

• Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

• Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

• Функция проходит через точку (0;1).

К началу страницы

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть,  .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций   – синяя линия и  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

• Область определения показательной функции:  .

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при  .

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.

• Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция  , где  ,  . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при  .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда  .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

• Область определения логарифмической функции:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

• Область значений:  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

• Функция вогнутая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ( ).

Покажем графики логарифмических функций   – синяя линия,   – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

• Область определения:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал  .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция возрастает при  .

• Функция выпуклая при  .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).