Свойства сходящихся последовательностей

Определение. Последовательность   называется сходящейся, если у нее существует конечный предел (т.е. существует   и  ).

Рассмотрим свойства этих последовательностей.

1. Для того, чтобы последовательность   была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде  , где  , а   - б.м.п.

Необходимость. Пусть  . Это значит, что

Обозначим  . Тогда   и

 т.е.   б.м.п.

Достаточность. Пусть  , где а   - б.м.п., т.е.  .

Но так как  , то  , т.е.  .

Это свойство позволяет почти все остальные свойства свести к свойствам б.м.п.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.  , где   б.м.п. В силу этого  ограничена, т.е.  .

Но тогда  , т.е.   ограничена.

3. Если   и   сходящиеся последовательности, то   тоже сходящаяся последовательность и  .

Доказательство:

 сходящаяся =>  , где   б.м.п.

 сходящаяся=>  , где   б.м.п.

Но тогда  .

Но по свойствам б.м.п.   есть б.м.п. и поэтому   есть сходящаяся последовательность и 

4. Если   сходящаяся последовательность, то   тоже сходится и 

 сходится =>  , где   б.м.п.

Но тогда   и, по свойству б.м.п.   есть тоже б.м.п. Поэтому   сходится и 

5. Если   и   сходящиеся последовательности, то   тоже сходящаяся последовательность и 

Доказательство:

 сходится=>  , где   б.м.п.

 сходится =>  , где   б.м.п.

Но тогда  . Но, по свойствам б.м.п.,  ,  ,   есть б.м.п. их сумма есть также б.м.п. и   есть сходящаяся последовательность и  .

6. Если  , то начиная с некоторого  , последовательность   ограничена.

Доказательство:

 сходится =>  .

Т.к.   то возьмем  . Тогда

. Но тогда   выполняется неравенство

.

Сравнивая начало и конец получим, что

 и  , т.е. при   последовательность   ограничена.

7. Если   и   сходящиеся последовательности, причем  . Тогда  есть также сходящаяся последовательность и

Доказательство:

 сходится =>  , где   б.м.п.

 сходится =>  , где   б.м.п.

Тогда

.

Вспомним, что . Тогда   есть б.м.п.,   есть б.м.п и, т.к.   ограниченна, то   есть тоже б.м.п. Итак,

б.м.п. и поэтому

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи: