Максимизация прибыли

Пусть q – количество реализованного товара, R(q)- функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации товара равна

P(q) = R(q)-C(q).

(12)

Из микроэкономики известно, что для того, чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, т.е.MR(q) = MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (?) следует, что P'(q) = 0, откуда и следует указанное равенство. Точкаq0, удовлетворяющая равенству P'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно второму достаточному условию существования экстремума, если P''(q0)<0, то q0– точка максимума функции P(q). Данное условие выполнится, если, например, R''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с экономической теорией.

Пример 18. Пусть

R(q) = 100q-q2, C(q) = q3-37q2+169q+4000.

Тогда прибыль определяется формулой

P(q) = -q3+36q2-69q-4000. P'(q) = -3q2+72q-69=0,

или q2-24q+23=0. Корни уравнения q1 = 1, q2 = 23.

P''(q) = -6q+72, P''(1) = 66, P''(23) = -66<0,

следовательно, при q = 23 Pmax = 1290.

Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть t– налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с q единиц продукции составит T=tq. В этом случае функция прибыли будет иметь вид

P(q) = R(q)-C(q)-tq.

Исследуем вопрос о том, каким должен быть налог t, чтобы величина суммарного налога T была наибольшей? Рассмотрим следующий пример.

Пример 19. Пусть R(q) = 16q-q2, C(q) = q2+1, тогда P(q) = 16q-2q2-tq-1. Найдем значение q максимизирующее функцию P(q). P'(q) = 16-4q-t. Отсюда, q = 4-t/4. Заметим, что P''<0  0<q<16. Определим при каких t суммарный налог T будет максимальным.

T=qt=t(4-t/4), T' = 4-t/2=0, t = 8, T'' = -1/2<0,

следовательно, при t = 8, q = 2, P(2) = 7, Tmax = 16. Отметим, что при t = 0 q = 4, Pmax = 31. Следовательно, уменьшение налога стимулирует рост выпуска продукции и ведет к увеличению прибыли.

Упражнение 3. Общие затраты на производство q единиц товара определяются равенством C(q) = aq+ q3, a<p, >0, p- цена за единицу товара. Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл

Определение 16 (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = x²/2 является первообразной для функции f(x) = x, так как (x²/2)' = x. Очевидно, что если F(x) - первообразная функция для функции f(x) на множестве X, то функция F(x)+C, где C - некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), x X, так как (F(x)+C)' = F'(x) = f(x). Геометрически это означает, что если найдена одна кривая y = F(x), являющаяся первообразной, то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы снова получим кривые, удовлетворяющие условию (F(x)+C)' = f(x).

Справедлива

Теорема 14. Если F1(x), F2(x) - первообразные для функции f(x) на некотором множестве X, то найдется такое число C, что справедливо равенство F2(x) = F1(x)+C.

Доказательство. Так как (F₂(x)-F₁(x))' = F'₂(x)-F'₁(x) = f(x)-f(x) = 0, x X, то F₂(x)-F₁(x) = C, то есть F₂(x) = F₁(x)+C.

Определение 17 (неопределенный интеграл). Совокупность  всех первообразных функций для функции f(x), определенных на множестве X, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на множестве X и обозначается

 f(x)dx.

Если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то пишут

 f(x)dx = F(x)+C.