Свойства математических ожиданий
1)
2)
3)
4)
5) Если
и
независимы
(обратное, вообще говоря, неверно)
6)
(неравенство Коши-Буняковского)
7)
Свойства 1), 2), 3), 4), 7) очевидны.
Доказательство свойства 5): Пусть
Доказательство свойства 6):
Пусть
и
(в обратном случае очевидно).
Обозначим
,
.
Тогда
следовательно,
Определение.
Дисперсией
случайной величины
называется число
Величина
называется стандартным отклонением.
Свойства.
1)
2)
3)
4)
5)
.
Все свойства очевидно следуют из определения.
Обозначим
и назовем ковариацией.
6) Для независимых и
Обозначим
коэффициент
корреляции при
и
7)
,
8)
9) если
,
то
и
– линейно зависимы,
Найдем оценку
в виде
.
Пусть
– оптимальная в среднеквадратическом
смысле оценка, т.е.
Найдем
в классе линейных функций
Рассмотрим схему Бернулли
с
,
,
Определим
случайные величины
с
,
;
;
;
.
Непосредственно проверяется, что
независимы в совокупности. Положим
и
;
.
Тогда
т.е. среднее значение частоты появления
успеха
совпадает с вероятностью успеха
.
А вот насколько числа
близки
?
Для ответа
воспользуемся неравенством Чебышева.
Теорема. Пусть
– неотрицательная простая случайная
величина на произвольном вероятностном
пространстве
.
Тогда для любого
Доказательство.
следовательно,
Теорема доказана.
Следствия:
1)
2)
3)
.
Закон больших чисел я. Бернулли
(1700, опубликован в 1713).
Теорема.
В схеме серий Бернулли
,
или в другой записи
Доказательство. По следствию к неравенству Чебышева
Теорема доказана.
Замечание.
(рассуждения Бернулли).
и, следовательно,
Итак,
Но с какой скоростью? Обозначим
Справедлива следующая локальная предельная
Теорема.
Пусть в схеме серий Бернулли
.
Тогда равномерно по всем
таким, что
т.е.
Доказательство.
точки
разбивают отрезок
на отрезки длиной
;
Покажем, что
при
По формуле Стирлинга
Так как
то
и
Сложим эти выражения.
,
следовательно,
следовательно,
что и требовалось доказать.
Заметим,
что в условиях теоремы ограничение
можно заменить на
Из локальной предельной теоремы вытекает интегральная предельная теорема для схемы серий Бернулли, или так называемая теорема Муавра-Лапласа.
Теорема.
В предположениях локальной теоремы,
,
Заметим, что
– так называемая плотность гауссовского
или нормального распределения
.
Доказательство.
При
таких, что
по локальной теореме
Теорема доказана.
Заметим, что из теоремы Муавра-Лапласа следует закон больших чисел, так как
и, следовательно,
Рассмотрим схему серий Бернулли , с распределением
и пусть
– функция
.
Справедлива следующая теорема Пуассона:
Теорема.
Пусть
так, что
.
Тогда для
любого
где
так называемое распределение
Пуассона.
Доказательство.
Следовательно, для любого фиксированного при больших
Однако
и
что и доказывает теорему.
Набор
образует так называемое пуассоновское
распределение, так как
;
.
Рассмотрим понятия условных вероятностей
и математических ожиданий относительно
разбиений. Пусть
– конечное вероятностное пространство
и
– некоторое разбиение
,
такое что
,
.
Для определена
Определение.
Случайная величина
определяется как
и называется условной вероятностью события относительно разбиения .