3. Вероятностная модель в общей постановке (в том числе с бесконечным числом исходов)

Ранее рассматривалось с , а если ? (Рассмотрите пример с интервалом [0,1)).

Определение. Система подмножеств называется - алгеброй, если она является алгеброй и если , , то

(Рассмотрите пример с борелевской -алгеброй , пример с точечной -алгеброй).

Определение. Вероятностной мерой или вероятностью на - алгебре называется числовая функция множеств , , если

 1) ;

 2) при из

 3) .

Определение. (Аксиоматика Колмогорова.) Набор , где

 а) – множество – пространство элементарных событий

 б) – -алгебра подмножеств ; ,

 в) – вероятность на называется полным вероятностным пространством, а – вероятностью события .

Определение. Случайная величина – это любая определенная на , -измеримая числовая функция (т.е. для любого , где – из борелевской - алгебры – на ).

Определение. Функцией распределения называется .

Функцией распределения может являться любая функция такая, что

 1) – неубывающая функция

 2) , , где ;

 3) непрерывна справа, имеет предел слева , т.е.

и .Тогда

Примеры мер:

 1) дискретных, с кусочно-постоянной функцией распределения

 2) абсолютно-непрерывных с плотностью

 3) сингулярных.

Теорема Лебега.

Примеры абсолютно непрерывных распределений

Распределение	Плотность	Параметры
1) Равномерное на [a,b]
2) Нормальное гауссовское
3) Экспоненциальное
4) Двустороннее экспоненциальное
5) Хи-квадрат
6) Стьюдента, t
7) Коши

Обобщения для векторной случайной величины со значениями в

Определим разностный оператор при

Тогда любая функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 4) может служить функцией распределения:

1) ,

2) если при , то при

3)

4) , если хотя бы одна из координат равна .

В частном абсолютно-непрерывном случае

где – плотность, т.е.

1) ,

2) .

Пример. Так в случае

с – нормальное (гауссовское) распределение и плотность . Если , – стандартное распределение.

При (положительно определенная матрица )

(забегая вперед заметим, что , ).

Пусть на заданы – случайные величины со значениями в , т.е. ;

Определение. Случайные величины независимы, если для любых

Предложение. независимы тогда и только тогда, когда для любого

Пример.

1) Пусть – независимые нормально распределенные случайные величины. Распределение называется - распределением с степенями свободы.

2) Пусть и независимы от , тогда

– распределение Стьюдента с степенями свободы.

Пусть задано – полное вероятностное пространство. Пусть ; , при .

Определение. Случайную величину называют дискретной. Если число слагаемых в конечно, то – простая случайная величина. Теорема. 1) Для любой случайной величины существует последовательность случайных величин такая, что и

2) Если , то существует последовательность простых случайных величин таких что

Доказательство.

Докажем 2).

, следовательно,

Очевидно, что

Докажем 1)

, где при и при ; при , при .

и неотрицательные и для каждой по 2) существуют последовательности случайных величин такие, что и и, следовательно, и . Теорема доказана.