4. Математическое ожидание

Если , то . Пусть – неотрицательная случайная величина. Построим последовательность простых случайных величин таких что

, следовательно, .

Определение. Математическим ожиданием при назовем .

Определение. Пусть и пусть , тогда математическое ожидание .

конечно, если , следовательно,

Свойства математических ожиданий.

1)

2)

3)

4) Если то для любого и если конечно, то конечно

5) Если - п.н. (т.е. ) то

6) Если - п.н. и , то и

7) Если и , то - п.н.

8) Если и , то

9) Если , то - п.н.

10) Если и – независимые случайные величины с и , то и

11) Пусть -п.н., тогда для любого справедливо неравенство Чебышева

12) Пусть и , тогда и справедливо неравенство Коши-Буняковского

13) Пусть – выпуклая вниз функция и , тогда справедливо неравенство Иенсена

14) Пусть , тогда справедливо неравенство Ляпунова

15)  

16) Пусть и , где . Если , и , то и справедливо неравенство Гельдера

Доказательство свойства 1).

Доказательства свойств 2) - 9) также очевидны.

Доказательство свойства 10). Аппроксимируем

и производим соответствующую замену сумм.

Доказательство свойства 11).

Доказательство свойства 12). Обозначим

Доказательство проводим аналогично дискретному случаю.

Доказательство свойства 13). такое, что выполняется неравенство

Возьмем , тогда получим

Доказательство свойства 14). . Применим неравенство Йенсена к . Доказательство свойства 15) следует из свойства 14).

Доказательство свойства 16). Делаем замену

Применяем неравенство

Для абсолютно-непрерывных распределений

(можно предполагать, что , и, соответственно, ).

Пусть и имеют совместное распределение с плотностью

Если и независимы, то и . Пусть . Тогда

Т.е. для справедлива формула свертки

Аналогично

и аналогично .

При

Пример. Пусть . Тогда .

5. Характеристические функции

Определение. Характеристической функцией случайной величины называют

Т.е. для абсолютно непрерывных функций распределения – преобразование Фурье .

Характеристическая функция существует для любой случайной величины , так как

Свойства:

1) , 2) 3) если – независимы, то 4) – равномерно по непрерывная функция 5) Если -й момент , , то

6) Если , то в окрестности точки

7) Если , то определена при комплексных при , и аналитична при и непрерывна включая 8) , где * – комплексное сопряжение, т.е., если и одинаково распределены, то характеристическая функция вещественна 9) Если имеет плотность, то при

Доказательства свойств 1), 2), 3), 7), 8), 9) очевидны. Доказательство свойства 4).

Выбираем , а затем .

Доказательство свойства 5) следует из дифференцирования по под знаком интеграла Доказательство свойства 6) следует из 5)