Оператор д’Аламбера

Разность называется оператором Д’Аламбера (разные источники используют разный знак). Таким образом, волновое уравнение записывается как:

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

,

где f = f(x,t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является, очевидно, уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, т.е. к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

или .

3. Число ударов молекул о стенку и давление газа на стенку.

Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно ┴ направлений. Это можно допустить из-за хаотичности движения молекул. Если в сосуде находится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул и половина из них - N/6 вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина - в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении по нормали к данному элементу ΔS стенки сосуда движется N/6 молекул, а для единицы объема - , n – концентрация молекул.

Пусть все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью <v>. За время Δt элемента стенки ΔS достигают все молекулы, находящиеся в параллелипипеде с площадью основания ΔS и длиной <v>Δt. Их число Δν = (n/6)ΔS<v>Δt, следовательно, число ударов о единичную площадку в единицу времени

Δν/ΔSΔt = (n/6)<v>.

Если отказаться от допущения, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью v = <v>, то необходимо выделить в единице объема молекулы, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv. Их число - . Количество ударов таких молекул, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно dν_v = (1/6)(dn_vΔS

v_max

0

vΔt).

v_max

0

Полное число ударов:

Δν = dν_v = 1/6ΔSΔt vdn_v = Выражение vdn_v по определению является средней скоростью молекулы, тогда Δν = 1/6ΔSΔtn<v> , т.е., получили то же самое значение числа ударов.

Б-15

1. Консервативные силы.

Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и т.д. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета м.б. в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.

Работа, которую совершает сила поля по перемещению частиц из т.1 в т.2 зависит, в общем случае от формы пути между этими точками, например при действии . Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа над частицей силами поля не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы обладающими такими свойствами называются консервативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если работа в стационарном полена любом замкнутом пути равна =0.

поскольку то . А т.к. работа не зависит от пути , то .

К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна 0 на замкнутом пути.

2. Энергия волны. Объемная плотность энергии волны.

Энергия волн — энергия волн на поверхности океана, используемая для совершения полезной работы — генерации электроэнергии, опреснения воды и перекачки воды в резервуары. Энергия волн — возобновляемый источник энергии.

Мощность волнения оценивают в кВт на погонный метр, т.е. в кВт/м. По сравнению с ветровой и солнечной энергией энергия волн обладает гораздо большей удельной мощностью. Так, средняя мощность волнения морей и океанов, как правило, превышает 15 кВт/м. При высоте волн в 2 м мощность достигает 80 кВт/м. То есть, при освоении поверхности океанов не может быть нехватки энергии. Конечно, в механическую и электрическую энергию можно использовать только часть мощности волнения, но для воды коэффициент преобразования выше, чем для воздуха - до 85%.

Волновая энергия представляет собой сконцентрированную энергию ветра и, в конечном итоге, солнечной энергии. Мощность, полученная от волнения всех океанов планеты, не может быть больше мощности, получаемой от Солнца. Но удельная мощность электрогенераторов, работающих от волн, может быть гораздо большей, чем для других альтернативных источников энергии.

Несмотря на схожую природу, энергию волн принято отличать от энергии приливов и океанских течений. Выработка электроэнергии с использованием энергии волн не является распространенной практикой, в настоящее время в этой сфере проводятся только экспериментальные исследования.

Представляет интерес и использование энергии волн для движения судов (движители волновые).

3. Средняя энергия молекул с учетом вращательных и колебательных степеней свободы.

Из уравнения состояния идеального газа p=nkT и выражения для давления газа на стенку сосуда р =2/3n<ε_пост> следует, что

<ε_пост> = 3/2kT (1), откуда можно заключить, что температура есть величина, прямо пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

Поступательно движутся молекулы газа. Молекулы твердых и жидких тел совершают колебания вблизи положений равновесия.

Из выражения (1) видно, что <ε_пост> зависит только от Т и не зависит от массы молекулы.

Т.к., <ε_пост> = <mv²/2> = m<v²>/2, то из сравнения с выражением (1), получим: <v²> = 3kT/m а средняя квадратичная скорость:

v_ср.кв. = √<v²> = √3kT/m .

Можно представить <v²> = <v²_x>+<v²_y>+<v²_z> = 3<v²_x>, поскольку, все направления движения молекул равноправны, т.е., <v²_x> = <v²_y> = <v²_z>, тогда:

<v²_x> = 1/3<v²> = kT/m

Формула (1) определяет энергию поступательного движения молекул. Наряду с этим движением возможны также вращение молекул и колебания атомов, входящих в состав молекул. Например, для двухатомной жесткой молекулы это вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы. Эти виды движения также связаны с запасом энергии молекулы. Ее полную энергию позволяет определить, устанавливаемое статистической физикой, положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Такую гипотезу впервые высказал Больцман.

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано ее положение. Положение материальной точки определяется в пространстве значением трех координат, она имеет три степени свободы. Одноатомной молекуле следует приписывать три степени свободы, двухатомной: в зависимости от характера связи между атомами – либо три поступательных и две вращательных (жесткая связь), т.е. всего пять степеней; либо n = 3+2+1=6 с учетом колебательной степени свободы для нежесткой молекулы.

Поскольку ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед остальными, на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия 1/2kT. Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/2kT. Согласно закону среднее значение энергии одной молекулы <ε> будет тем больше, (при одинаковой Т), чем сложнее молекула и чем больше у нее степеней свободы. При определении <ε> необходимо учесть, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей «энергетической емкостью» по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что колебательное движение связано с наличием кинетической и потенциальной энергии, поэтому на колебательную степень приходится (1/2kT+1/2kT) = kT, т.е., одна половинка в виде ε_кин , а вторая - ε_пост.

Т.о. средняя энергия молекулы: <ε> = (i/2)(kT),

Где i- сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекул.

i = n_пост+n_вращ+2n_кол , здесь n – число степеней свободы.

Для молекул с жесткой связью i совпадает с числом степеней свободы.

Б-16

1. Центральные силы.

В сякое силовое поле вызвано действием определенных тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами. Силы, которые зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей называются центральными (гравитационные, кулоновские, упругие). Центральные силы можно записать как зависит только от , — орт частицы относительно О. докажем что центральная сила является консервативной. Для частицы ; . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от и т.е. от пределов интегрирования. Если на частицу действует несколько центральных сил, то работа , а т.к. работа каждой из них не зависит от пути, то и не зависит.

2. Пространство и время в ньютоновской механике.

Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную принадлежность. Время выражает порядок смены состояний, составляющих любой процесс, любое движение. Оно является мерой длительности процесса. Т.о. пространство и время представляют наиболее общие формы существования материи.

Не имеет смысла говорить о положении и механическом движении тела в пространстве «вообще», всегда говорят о положении и движении относительно какого-то другого конкретного тела: Солнце, Земля и т.д.

3. Внутренняя энергия и теплоемкость C_v и C_p идеального газа.

Теплоемкость идеального газа

Из опыта следует, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Отсутствие зависимости от объема газа указывает на то, что молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, иначе бы во внутреннюю энергию входило слагаемое, зависящее от расстояния между молекулами, т.е., от . Значит, подавляющую часть времени молекулы проводят в свободном полете.

Теплоемкостью какого-либо тела называют величину, равную количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1К. Если сообщение телу тепла повышает его температуру на , то теплоемкость тела по определению: .

Теплоемкость единицы массы вещества называют удельной теплоемкостью:

, тогда, молярная теплоемкость: , а теплоемкость тела: .

Внутренняя энергия и теплоемкость идеальных газов

В идеальном газе молекулы не взаимодействуют между собой, внутренняя энергия одного моля газа:

U_м = N_A<ε> = i/2 N_AkT = i/2 RT . U_м = i/2RT.

Если вспомнить, что по определению: C_v = δQ/dT = dU/dT, поскольку, δQ = dU+pdV, а для изохорного процесса dV = 0.

Тогда C_v = (i/2) R , а, учитывая, что C_р = C_v+R, получим:

C_р = (i+2)/2 R

Следовательно, коэффициент Пуассона γ = C_p/C_v = (i+2)/i , таким образом, γ определяется числом и характером степеней свободы молекулы.

Согласно этой ф-лы для одноатомной молекулы i = 3 и γ = 1,67; жесткой двухатомной i =5 и γ = 1,4; упругой двухатомной i = 7, а γ = 1,29. В области температур, близких к комнатной, это хорошо согласуется с опытом. Однако, в широком температурном интервале это не так. Оказывается, что вращательная и колебательная энергии молекулы квантованы. При низких Т вращательные и колебательные степени свободы не возбуждены. Молекула Н₂ , например, ведет себя как одноатомная в этой области температур, i = 3. В области Т ≈ 500К вращательные степени «разморожены» <ε> > ε_вращ и молекула Н₂ ведет себя как жесткая двухатомная с = 3+2 = 5. При Т>1000К энергии <ε> достаточно для возбуждения колебательной степени свободы, «включены» все степени свободы, i = 7.

Б-17

1. Потенциальная энергия частицы в поле.

То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии (функции состояния). Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторой фиксированной точке О (точка отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку работа сил поля не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т. (О— фиксировано) т.е. от предела интегрирования

(*).

Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки . Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил. Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Т.к. она не зависит от формы пути: то или с учетом (*)

;

;

(**)

Правая часть представляет убыль потенциальной энергии, т.е. разность начальную и конечную значений потенциальной энергии. ( — приращение); ( — убыль). Т.о. работа сил Оля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии. Так как работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точек, а не их абсолютного значения, то частица в т.О можно приписать любое, наперед выбранное значение потенциальной энергии.

Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия в одной, какой-либо точке, значения её во всех остальных точках поля определяется однозначно выражением (**). Эта формула позволяет найти вид для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции , которая и есть потенциальной энергией. Так и было ране сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Отсюда видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид

— гравитационная, кулоновская +С – постоянная.

— упругой +С

— в поле тяжести.

Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значения в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают. Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле а к системе взаимодействующих частиц и тела, создающего поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.

2. Опыт Майкельсона и Морли.

Опыт Майкельсона — физический опыт, поставленный Майкельсоном в 1881 году, с целью измерения зависимости скорости света от движения Земли относительно эфира. Под эфиром тогда понималась среда, аналогичная объёмнораспределённой материи, в которой распространяется свет подобно звуковым колебаниям. Результат эксперимента был отрицательный — скорость света никак не зависела от скорости движения Земли и от направления измеряемой скорости. Позже, в 1887 году Майкельсон, совместно с Морли, провёл аналогичный, но более точный эксперимент, известный как эксперимент Майкельсона-Морли и показавший тот же результат. В 1958 году в Колумбийском университете (США) был проведён ещё более точный эксперимент с использованием противонаправленных лучей двух мазеров, показавший неизменность частоты от движения Земли с точностью около 10⁻⁹ % (чувствительность к скорости движения Земли относительно эфира составляла 30 м/с). Ещё более точные измерения в 1974 довели чувствительность до 0,025 м/с. Современные варианты эксперимента Майкельсона [1] используют оптические и криогенные микроволновые резонаторы и позволяют обнаружить отклонение скорости света, если бы оно составляло несколько единиц на 10⁻¹⁶.

Опыт Майкельсона является эмпирической основой принципа инвариантности скорости света, входящего в общую теорию относительности (ОТО) и специальную теорию относительности (СТО).

3. Барометрическая формула.

Атмосфера, то есть воздушная оболочка Земли, обязана своим существованиям наличию теплового движения молекул и силы притяжения их к Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное распределение молекул по высоте. Соответственно этому, устанавливается определенный закон изменения давления воздуха с высотой, который нетрудно найти.

Возьмем вертикальный столб воздуха. Считаем, что при х=0, y поверхности Земли р=р₀ , а на высоте х давление равно р. При увеличении высоты на dx давление уменьшается на dp. Известно, что давление воздуха на некоторой высоте равно весу вертикального столба воздуха с площадью равной единице, находящегося над этой высотой. Поэтому, dp равно разности весов столбов воздуха с площадью s=1 м² на высотах x и x+dx, то есть, равно весу столба воздуха высотой dx с площадью основания 1 м²:

p-dp-p= -dp= ρgdx 1 м², значит, dp= -ρgdx, плотность ρ= m₀N/V= m₀n, (m₀N = m – масса всех молекул).

Из молекулярной физики известно, p= nkT => n= p/kT => ρ= m₀ p/kT

и тогда, подставляя значение плотности, получим: dp= (-m₀g/kT)pdx. После разделения переменных: dp/p= (-m₀g/kT)dx

Считая для простоты температуру постоянной на всех высотах (что не так) после интегрирования найдем:

lnp= (-m₀g/kT)x +lnC , откуда: p= Ce^(-m₀^g/kT)x . Постоянную C находим из начальных

условий: при х= 0 р= р₀, то есть р₀=C и тогда:

р= р₀e^(-m₀^g/kT)x

или с учетом m₀= M/N_A : р= р₀e^(-Mg/RT)x - барометрическая формула, т.е., давление с высотой убывает по экспоненциальному закону.

Для градуировки барометров необходимо внести поправки на Т. Так как, давление пропорционально концентрации молекул в единице объема, то: n= n₀ e^(-mg/kT)x - закон убывания концентрации молекул, а значит, плотности с высотой.

Видно, что атмосфера Земли в принципе, простирается до ∞. На больших высотах необходимо учесть, что g – меняется с высотой: g(r)= γM/(r+x)² .

Б-18

1. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать либо с помощью сил либо с помощью потенциальной энергией. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения). Второй способ удобен тем, что существует связь между потенциальной энергией и силой со стороны поля. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки статического поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно записать и для элементарного перемещения .

т.к. ; — элементарный путь или ; — убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; отсюда: т.е. проекция силы поля в данной точке на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии в этом направлении. Символ указывает, что произведение берется по определенному направлению. Перемещение можно брать в любом направлении, например вдоль осей . Если вдоль то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Т.о. относительно оси можно записать . Символ означает, что при дифференцировании должна расти как функция одного аргумента , а остальные аргументы — . Значит ; . Зная проекции можно найти и сам вектор или . Скобка называется градиент скалярной функции , и обозначается или т.о. — символический вектор или оператор Гамильтона. — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр т.е. сила действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиент потенциальной энергии частицы в данной тоске поля. Т.о. зная можно найти .

2. Постулаты Эйнштейна.

Специальная теория относительности (СТО) (англ. special theory of relativity; частная тео́рия относи́тельности; релятивистская механика) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения, определяющие их, при скоростях движения, близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей образует общую теорию относительности.

Отклонения в протекании физических процессов, описываемые теорией относительности, от эффектов, предсказываемых классической механикой, называют релятивистскими эффектами, скорости, при которых такие эффекты становятся существенными — релятивистскими скоростями.

Пусть система отсчёта K' движется со скоростью V относительно системы отсчёта K₀, соответственно, штрихованные величины относятся к K', а величины с индексом 0 — к K₀. К наиболее распространённым эффектам СТО, также называемым релятивистскими эффектами, относят: