Уравнение динамики вращения твердого тела.

Уравнение динамики твердого тела можно получить. Записав для производной момента импульса

(уравнение моментов)

и подставив значение для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси ;

;

(*) ;

—суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения . Отсюда видно, что (сравнивая с II-ым законом Ньютона) во вращательном движении тела роль массы играет , а роль линейного ускорения играет угловое ускорение , а роль результирующей силы —суммарный момент внешних сил . определяет инерциальные свойства. Если масса не зависит от выбора С.О. то зависит от оси. Относительно которой определяется.

Интегрирование уравнения (*) с учетом начальных условий и при позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела, т.е. найти , в любой момент времени в системе отсчета, жестко связанной с осью вращения.

2. Теорема Штейнера.

Теорема Гю́йгенса-Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени математика Якова Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I^c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния R между осями:

где

m — масса тела, и

R — расстояние между осями.

Теорема Гюйнеса-Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор J_ij отосительно произвольной точки из тензора I_ij относительно центра масс. Пусть a — смещение от центра масс, тогда

где

— вектор смещения от центра масс, а δ_ij — дельта Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при i = j) формула имеет вид теоремы Гюйгенса-Штейнера для момента относительно новой оси...

3. Статистический смысл второго закона термодинамики.

Состояние макросистемы может быть охарактеризовано параметрами p, V, T, ν и др. В этом случае говорят, что задано макросостояние. Можно также задать состояние макросистемы более детально, через характеристики всех молекул (их скорости, энергии, координаты), тогда такое детальное описание называют микросостоянием.

Любое макросостояние системы может быть реализовано различными способами, или микросостояниями. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, называется статистическим весом макросостояния.

В качестве примера рассмотрим способы, которыми могут распределяться N = 4 молекулы с номерами №1, 2, 3, 4 между двумя половинами сосуда с газом без учета распределения Максвелла по скоростям, рис. . Вероятность того, что любая из молекул может находиться в половине А равна, очевидно, 1/2. Вероятность одновременного пребывания одной и другой молекул 1/2·1/2 = 1/2² как вероятность независимых событий, для трех молекул - 1/2³ , четырех – 1/2⁴. Вероятность любого размещения 4-х молекул также равна 1/2⁴. Каждое размещение это микросостояние системы и вероятность каждого из них одинакова и равна 1/2⁴. Все возможные распределения 4-х м

2

олекул по половинам А и В сосуда приведены в таблице.

А В

4

3

1

2

Макросостояния		Способы реализации макросостояний		Число способов, Ω	Обычная вероятность, Р
А	В	А № мол.	В № мол.
0	4	-	1,2,3,4	1	1/16
1	3	1 2 3 4	2, 3, 4 1, 3, 4 1, 2, 4 1, 2, 3	4	4/16
2	2	1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4	3,4 2,4 2,3 1,4 1,3 1,2	6	6/16
3	1	1, 2, 3 1, 2, 4 1, 3, 4 2, 3, 4	4 3 2 1	4	4/16
4	0	1, 2, 3, 4	-	1	1/16

Как видно из таблицы, всего микросостояний – 16 = 2⁴ =2^N.

Под макросостоянием в данном случае будем понимать состояние, при котором в половине А сосуда: находится, например одна молекула (любая), а в половине В – три любые молекулы. Такие состояния реализуется 4-мя способами. Статистический вес данного макросостояния равен 4, а вероятность 4/16.

Макросостояние с 2-мя молекулами в каждой из половин, реализуется с помощью 6 микросостояний и его статистический вес Ω=6, а вероятность этого макростояния максимальна.

Предположим, что вначале все молекулы находились в половине А сосуда, затем некоторые из молекул, двигаясь беспорядочно, перейдут в В, это означает, что «газ» расширился. Далее макросостояние системы будет меняться случайным образом, но чаще будет реализоваться то из них, которому соответствует максимальное Ω, т.е. более вероятное. Может произойти так, что все четыре молекулы снова случайно окажутся в половине А, т.е. «газ», вначале расширившись, самопроизвольно сожмется. Т.е. процесс расширения оказался обратимым. Это может произойти довольно скоро для 4-х молекул из-за их высоких скоростей и быстрой смены состояний. Однако, вероятность такого события для 4^х молекул и равна для N молекул, т.е. быстро уменьшается с ростом числа молекул. Если в сосуде N=100 молекул, то Р  10^-30 .

Такова вероятность того, что газ самопроизвольно сожмется в одной половине сосуда. А вероятность того, что молекулы равномерно распределятся по объему, растет с N. Таким образом, отсюда следует важный вывод: предоставленная самой себе макросистема стремится перейти от менее вероятных состояний к более вероятным. Это является причиной необратимости т. процессов. Обратимый процесс, в принципе, возможен, но его вероятность ничтожно мала.

Таким образом, 2-ой закон термодинамики. указывает на необратимость перехода работы (механической энергии) в тепло, поскольку обратный переход – теплоты в работу означает переход от более вероятного состояния к менее вероятному.

Понятие необратимости процессов применимо только для макросистем, для небольшого числа частиц оно неприменимо. Четыре молекулы возможно соберутся в одной половине сосуда, т.е. «газ» самопроизвольно сожмется. При большом N в состоянии равновесия число молекул в обоих половинах сосуда можно считать одинаковым.

Б-27

1. Преобразования Галилея.