Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина   определена на вероятностном пространстве  , а её математическое ожидание   и дисперсия   конечны. Тогда

,

где  .

Если  , где   — стандартное отклонение и  , то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на   стандартных отклонения, с вероятностью меньше  . Она отклоняется от среднего на   стандартных отклонения с вероятностью меньше  .

44

Теорема Чебышева

            Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышаю постоянного числа С), то, как бы мало не было положительное числоe, вероятность неравенства

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

45

Теорема Бернулли

  Править  

Теорема Бернулли в теории вероятностей утверждает, что при многократном повторении случайного эксперимента с двумя исходами относительная частота успехов приближается к вероятности успеха в одном испытании.

Формулировка

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха   то есть пусть дана последовательностьнезависимых случайных величин   где

Определим   как число успехов в первых   испытаниях:

Тогда

 при 

то есть

46

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, которая обсуждалась в    2.10, интересна тем, что она является частным случаем общей и универсальной центральной предельной теоремы. Основополагающий вклад в разработку этой тематики внесли выдающиеся отечественные математики: П.Л. Чебышев, А.А. Марков и А.М. Ляпунов.

Мы приведем без доказательства вариант ЦПТ для независимых одинаково распределенных слагаемых.

Центральная Предельная Теорема 1   Пусть   -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим  и  . Тогда 

где   -- функция распределения стандартного нормального закона.

Замечание 5.1   Обозначим  . Тогда  ,  . Следовательно, утверждение ЦПТ может быть записано в виде

Мы не приводим здесь доказательства центральной предельной теоремы, так как оно требует привлечения дополнительного математического аппарата, который в нашем дальнейшем изложении не потребуется. Доказательство ЦПТ можно найти во многих учебниках [4,12,14].

Как уже отмечалось выше, интегральную теорему Муавра-Лапласа для схемы Бернулли можно считать следствием ЦПТ.

Замечание 5.2  

Существуют обобщения ЦПТ на случай независимых разнораспределенных слагаемых. При этом, на отдельные слагаемые   накладываются условия, обеспечивающие их ``пренебрежимо малый'' вклад в сумму   с ростом  . Наиболее известными условиями такого рода являются условия Ляпунова и Линдеберга.

ЦПТ имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди другий вероятностных распределений.

ЦПТ дает возможность аппроксимировать распределение сумм независимых с.в. нормальным распределением, чем часто пользуются на практике. В связи с этим, очень важным является вопрос о том, насколько быстро допредельное выражение в ЦПТ приближается к  . Приведем формулировку теоремы Бэрри-Эссеена о скорости сходимости в ЦПТ⁴. Предположим, что выполнены условия ЦПТ для независимых одинаково распределенных с.в., и, кроме того, существует  . Тогда справедлива оценка

47

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД

расположение значений случайной выборки   с функцией распределения   в порядке их возрастания:  В. р. служит для построения эмпирич. функции распределения   где   -число членов ряда, меньших х. Важными характеристиками В. р. являются его крайние члены   и размах R_n= x_(n) - x₍₁₎. Плотности распределения минимального и максимального членов В. р. в случае 

задаются соответственно выражениями 

и 

Для повторной выборки В. р. образует неоднородную цепь Маркова.

48