Правило трёх сигм
График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.
Правило
трёх сигм (
) —
практически все значения нормально
распределённой случайной
величины лежат в интервале 
.
Более строго — не менее чем с 99,7 %
достоверностью значениенормально
распределенной случайной
величины лежит в указанном интервале
(при условии, что величина 
истинная,
а не полученная в результате обработки
выборки).
Если
же истинная величина
неизвестна,
то следует пользоваться не 
,
а s.
Таким образом, правило трёх сигм
преобразуется в правило трёх s.
Нормальный закон распределения полностью определяется двумя числовыми характеристиками - математическим ожиданием и дисперсией или средним квадрати-ческим отклонением
29
Показательным (экспоненциальным)называют распределение вероятностей непрерывной СВ Т, которое описывается плотностью [5]:
(5.20)
где λ — постоянная положительная величина.
В определенных случаях принимают λ=λ(t)=const, это можно делать когда:
— есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает почти все дефектные элементы;
— есть элементы, которые практически не стареют;
— у большинства элементов имеется длительный период, на котором интенсивность отказов практически постоянна.
Числ. Характеристики: Мат. Ожидание, Дисперсия.
Функция надежности. Показательный закон надежности.
Пусть элемент начинает работать в момент времени t0=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ.
T – длительность времени безотказной работы устройства
Тогда функция распределения
определяет
вероятность отказа за время длительностью t.
Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью t, т. е. вероятность противоположного события T>t, равна
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t.
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого
функция надежности, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента, имеет вид
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
λ — интенсивность отказов.
30
Система случайных величин
Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, т.е. определялись одним числом, однако, существуют также случайные величины, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие случайные величины называются двумерными, трехмерными и т.д.
В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин.
Более подробно рассмотрим системы двух случайных величин.
Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Определение. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.
Отметим следующие свойства функции распределения системы двух случайных величин:
1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.
2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.
3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.
4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.
5) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле: