Сущность метода

Пусть случайная величина (вектор, матрица и т. д.) X имеет некоторое распределение  , зависящее от параметров  . Пусть для функций (называемых моментами или моментными функциями)  , интегрируемых по мере  , выполненыусловия на моменты

Пусть   — выборка случайной величины X. Предполагается, что соотношения аналогичные условиям на моменты выполнены и для выборки, а именно вместо математического ожидания в условиях на моменты необходимо использовать выборочные средние:

причем в данном представлении (когда справа от равенства — ноль) достаточно использовать просто суммы вместо средних.

Оценки, получаемые из решения этой системы уравнений (выборочных условий на моменты), называются оценками метода моментов. Название метода связано с тем, что чаще всего в качестве функций   выступают функции степенного вида, математические ожидания от которых в теории вероятностей и математической статистике принято называть моментами.

Если моментные функции непрерывны, то оценки метода моментов состоятельны.

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия в математической статистике - это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия.

Определение

Пусть есть выборка   из распределения  , где   - неизвестный параметр. Пусть   - функция правдоподобия, где  . Точечная оценка

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра  . Таким образом оценка максимального правдоподобия - это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Суть метода наименьших квадратов (МНК).  Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b  принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

52

ГИПОТЕЗА СТАТИСТИЧЕСКАЯ - предположение о некоторых свойствах генеральной совокупности , которое можно проверить, опираясь на данные выборочного исследования. В социологии часто проверяют гипотезы о равенстве средних значений переменной в двух или нескольких группах, об однородности распределений, о статистической связи и независимости переменных и пр.

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина  , распределение которой   известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся   называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение  , то есть  , где   какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения   к некоторому семейству распределений, то есть вида  , где   — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу  . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза  , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке   фиксированного объема   из распределения  . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем являетсяслучайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка   из нормального распределения, где   — неизвестный параметр. Тогда  , где   — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней   — сложной.