Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

.

Действительно, F(x) = P(X < x) = P(-∞ < X < x).

Следовательно,

.

или

.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения, а именно:

f(x) = F'(x).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой

Если x ≤ a, то f(x) = 0, следовательно, F(x) = 0. Если a < x ≤ b, то f(x) = 1/(b-a),

следовательно,

_.

Если x > b, то

.

Итак, искомая функция распределения

Замечание: Получили функцию распределения равномерно распределенной случайной величины (см. равномерное распределение).

33 Св-ва двумерной плотности вероятности

Двумерная плотность вероятности неотрицательна:  . Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице: .

Условное математическое ожидание

Практически важным при рассмотрении систем случайных величин является понятие условного математического ожидания.

Условное математическое ожидание дискретной случайной величины   при   – это сумма произведений возможных значений   на их условные вероятности:

Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется интегралом:

Как видно из выражений для условных математических ожиданий, их значения являются функциями от  . Такую функцию называют функцией регрессии   на  :

.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины   и функция регрессии   на  :

.

33 нахождение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины

34 35

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Условной дифференциальной функцией составляющей X при условии, что , называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей Y.

Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием случайной величины Y при называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных величин:

Зависимые и независимые случайные величины

Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы была равна произведению интегральных функций случайных величин X и Y.

Следствие. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы была равна произведению дифференциальных функций случайных величин X и Y.

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения их отклонений.

Для дискретных величин

Для непрерывных величин

Теорема. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0

Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

36

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

Будем считать, что дано вероятностное пространство  . Пусть   — интегрируемая случайная величина, то есть  . Пусть также   — σ-подалгебра σ-алгебры  .