6. Критерий сходимости монотонной числовой последовательности.

Тэарэма (Крытэр збежнасці манатоннай паслядоўнасці). Для таго каб манатонная паслядоўнасць была збежнаю, неабходна і дастаткова, каб яна была абмежаванаю.

□ Неабходнасць. Абмежаванасць ёсць неабходная ўмова збежнасці ўсякай паслядоўнасці, у тым ліку манатоннай.

Дастатковасць. Доказ правядзем для неспадальнай паслядоўнасці , г.зн. . Паколькі паслядоўнасць ёсць абмежаваная, то па тэарэме пра межы лікавая паслядоўнасць мае дакладную верхнюю мяжу. Няхай . Пакажам, што ёсць ліміт лікавай паслядоўнасці . Згодна з азначэннем супрэмуму маем Паколькі паслядаўнасць – неспадальная, то Такім чынам, , або . Гэта і азначае, што ■

7. Теоремы о вложенных и стягивающихся отрезках.

def: Паслядоўнасць адрэзкаў лікавай прамой такіх, што называецца паслядоўнасцю ўкладзеных адрэзкаў. Пры гэтым праўдзяцца няроўнасці . (2)

Тэарэма 2. (пра ўкладзеныя адрэзкі). Для ўсякай паслядоўнасці ўкладзеных адрэзкаў існуе пункт, які належыць усім адрэзкам паслядоўнасці.

□ З няроўнасцяў (2) вынікае, што лікавая паслядоўнасць ёсць неспадальная і абмежаваная зверху, паколькі , а таму мае ліміт . Аналагічна – ненарастальная і абмежаваная знізу паколькі , і таму існуе . Згодна з тэарэмаю пра лімітавы пераход у няроўнасцях з вынікае . Такім чынам, кожны пункт (калі ) адпавядае ўмовам тэарэмы. ■

def: Калі выконваецца роўнасць , то паслядоўнасць укладзеных адрэзкаў называецца паслядоўнасцю сцягвальных адрэзкаў.

Тэарэма . (пра сцягвальныя адрэзкі). Для ўсякай паслядоўнасці сцягвальных адрэзкаў існуе адзіны пункт, які належыць усім адрэзкам паслядоўнасці.

□ З тэарэмы пра ўкладзеныя адрэзкі вынікае, што і , а таму маем . Гэта і азначае, што пункт , які належыць усім адрэзкам ёсць адзіны, прычым . ■

8. Принцип выбора (теорема Больцано-Вейерштрасса).

Тэарэма (Бальцана-Ваерштраса або прынцып выбару). З кожнай абмежаванай лікавай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

□ Няхай паслядоўнасць абмежаваная, г.зн , або . Абазначым гэты адрэзак і падзелім яго папалам. Тую яго палову, якая змяшчае бясконца многа элементаў паслядоўнасці назавем , і гэты адрэзак зноў падзелім папалам. Такім чынам, мы атрымаем паслядоўнасць укладзеных адрэзкаў , даўжыня якіх (1)

імкнецца да нуля пры . На падставе тэарэмы пра сцягвальныя адрэзкі існуе адзіны пункт такі, што (2)

Пабудуем падпаслядоўнасць лікавай паслядоўнасці , якая збягаецца да ліку . У якасці возьмем адвольны элемент лікавай паслядоўнасці . За возьмем адвольны элемент паслядоўнасці з адрэзку , для якога (такі выбар магчымы, бо адрэзку належыць бясконца многа элементаў паслядоўнасці ). У якасці возьмем элемент паслядоўнасці , які належыць адрэзку і для якога і г.д. Такім чынам, маем падпаслядоўнасць , прычым (3)

Пакажам, што . Сапраўды, з (2) і (3) вынікае

На падставе прынцыпу двух міліцыянтаў атрымліваем г.зн. Гэта і азначае існаванне збежнай падпаслядоўнасці ў абмежаванай паслядоўнасці. 