13. Теорема о непрерывности обратной функции.

def: Няхай функцыя вызначаная на і строга манатонная на , г.зн. , а тым самым існуе толькі адзін лік такі, што . Такім чынам на мностве вызначана функцыя, якая называецца адваротнаю функцыяй да функцыі і абазначаецца . Відочна, што , а

Тэарэма (пра непарыўнасць адваротнай функцыі). Калі функцыя ёсць непарыўная і строга манатонная на адрэзку , то вызначаная на мностве яе значэнняў адваротная да яе функцыя ёсць непарыўная на .

□ Няхай ёсць нарастальная на , тады На адрэзку вызначана функцыя , прычым, калі , то . Гэта азначае, што функцыя ёсць нарастальная на адрэзку . Паколькі мноствам яе значэнняў з’яўляецца адрэзак , то згодна з тэарэмаю 2 функцыя – непарыўная на адрэзку . Аналагічна разглядаецца выпадак спадальнай функцыі. ■

14. Непрерывность тригонометрических функций.

1). Функцыя – непарыўная на .

□ Спачатку дакажам, што Калі (гл. §2.7.), а таму Калі і пры гэтым тады маем Калі ж , то з няроўнасці вынікае, што

Возьмем , маем

для ўсіх , якія адпавядаюць няроўнасці Гэта і азначае непарыўнасць сінуса ў пункце , а тым самым і на ўсёй лікавай прамой. ■

2). Функцыя – непарыўная на .

Доказ праводзіцца аналагічна на падставе роўнасці

, або на падставе тэарэмы пра непарыўнасць

кампазіцыі і роўнасці

3). Функцыі – непарыўныя на.абсягу іх існавання як дзель непарыўных функцый.

15. Теорема о представлении эквивалентных функций.

Тэарэма (Пра выяўленне эквівалентных функцый). Для таго каб функцыі f(x) i g(x) былі эквівалентнымі ў акрузе пункта , неабходна і дастаткова, каб

□ (Неабходнасць) Няхай . Згодна з азначэннем эквівалентнасці . На падставе тэарэмы пра выяўленне функцыі, якая мае ліміт, , дзе . Такім чынам, .

Паколькі , то , што і прыводзіць да роўнасці

(Дастатковасць) Няхай Тады , што і азначае .■

16. Теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении функции).

Тэарэма Бальцана-Кашы (аб прамежкавым значэнні). Калі функцыя f ёсць непарыўная на адрэзку і , то для кожнага рэчаіснага ліку γ , які размяшчаецца паміж f(a) і f(b), існуе прынамсі адзін пункт

□ Няхай для пэўнасці . Разгледзім дапаможную функцыю , якая непарыўная на і . Для доказу тэарэмы дастаткова паказаць, што існуе пункт

Няхай . Гэтае мноства непустое і абмежаванае зверху, напрыклад, лікам b. Згодна з тэарэмаю пра межы існуе лік . Паколькі , то на падставе тэарэмы пра стабілізацыю знаку існуе поўінтэрвал , на якім і таму . Аналагічна атрымліваецца, што . Гэта азначае, што

Пакажам, што ў гэтым пункце . Сапраўды, калі дапусціць процілеглае , то існуе акруга пункта , дзе захоўвае знак . Але справа ад функцыя , а злева, згодна з азначэннем , у кожнай акрузе існуе пункт, у якім . Гэта значыць, што .

Такім чынам, . (Як правесці доказ у выпадку ? ) ■