22. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа для дифференцируемых функций

Тэарэма Фэрма. Калі функцыя ёсць дыферэнцавальная ў пункце і мае ў пункце лакальны экстрэмум, то .

□ Няхай функцыя мае ў пункце лакальны максімум. Тады . Адсюль выні-кае, што . Такім жа чынам , адкуль . Паколькі функцыя мае ў пункце вытворную, то , а таму з атрыманых няроўнасцяў вынікае . Аналагічна разглядаецца выпадак лакальнага мінімума. ■

Тэарэма Ролля. Няхай функцыя ёсць: 1) непарыўная на ; 2) дыферэнцавальная на ; 3) . Тады існуе прынамсі адзін пункт .

□ Паколькі ёсць непарыўная на , то па другой тэарэме Ваерштраса яна дасягае на максімальнага М і мінімальнага m значэнняў. Калі , то , а таму . Калі ж , то з умовы вынікае, што функцыя мае прынамсі адно (чаму?) з экстрэмальных значэнняў унутры адрэзка, г. зн. такі, што ёсць экстрэмальнае значэнне функцыі . Паколькі – дыферэнцавальная ў с, то паводле тэарэмы Фэрма . ■

Тэарэма Кашы. Калі функцыі і – непарыўныя на , дыферэнцавальныя на і , то

□ Пераканаемся спачатку, што . Сапраўды, калі б , то для функцыі былі б выкананымі ўсе ўмовы тэарэмы Ролля, а таму было б праўдзівым сцверджанне: . Але гэта супярэчыць умове тэарэмы.

Дзеля далейшага доказу разгледзім дапаможную функцыю , дзе выберам так, каб выконвалася ўмова , г. зн. (1) Паколькі функцыя непарыўная на , дыферэнцавальная на і , то на падставе тэарэмы Роля , г. зн. , або . З улікам (1) маем ■

Тэарэма Лягранжа. Калі функцыя ёсць непарыўная на , і дыферэнцавальныя на , то . (2)

□ Доказ вынікае непасрэдна з тэарэмы Кашы, калі ўзяць . Маем . ■

23. Рекуррентная формула вычисления .

Няхай – рацыянальная функцыя, дзе мнагасклады супеняў і . Калі (г. зн. рацыянальная функцыя ёсць няправільная), то згодна з тэарэмаю пра выяўленне мнагаскладу . Такім чынам, маем , г. зн. рацыянальную функцыю можна падаць як суму мнагаскладу і правільнай рацыянальнай функцыі. Мнагасклад інтэгруецца як сума ступеневых функцый. Што да правільнай рацыянальнай функцыі, то згодна з тэарэмаю пра раскладанне правільнай рацыянальнай функцыі на суму простых дробаў, нам дастаткова навучыцца інтэграваць простыя дробы:

1) ; 2) .

1а) ( ). .

1б) ( ). .

2) У інтэграле зробім замену зменнай ,

. Маем

А1)

А2)

В1) В2) .

(1)

(2)

Падставім (2) у (1)

Адкуль атрымліваем (3)

– рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла

24. Интегрирование биномного дифференциала (подстановки Чебышёва).

Пры вылічэнні інтэграла маюць месца тры выпадкі інтэгравальнасці.

1)  . Няхай пры гэтым . Падынтэгральная функцыя ёсць дробава-лінейная ірацыянальнасць , дзе – найменшы супольны кратны назоўнікаў лікаў і . Падстанова рацыяналізуе падынтэгральную функ-цыю.

2)  . Зробім замену і атрымаем . Калі , то падынтэгральная функцыя ёсць дробава-лінейная ірацыянальнасць , а таму падстанова рацы-яналізуе інтэграл ад апошняй функцыі. Такім чынам, падстанова рацыяналізуе зыходны інтэграл. Пры гэтым сам інтэграл мае выгляд

3)  . Пасля замены атрымаем інтэграл . Падынтэгральная функцыя ёсць , дзе – назоўнік рацыянальнага ліку . Такім чынам, падстанова рацыяналізуе інтэграл у гэтым выпадку.

Расійскі матэматык Чабышоў даказаў, што ў іншых выпадках інтэграл не вылічаецца ў элементарных функцыях.

Назавем іншыя інтэгралы, якія не вылічаюцца ў элементарных функцыях.

– інтэграл Пуасона; – інтэгралы Фрэнэля;

– інтэгральны лагарыфм; – інтэгралы Дырыхле.