V(r) – периодическая функция, период который совпадает с периодом кристаллической решётки.

Теорема Блоха: Волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решётки.

e^ikr - Функция Блоха,

21. Свойства волнового вектора электрона в кристалле. Свободный электрон и электрон в кристалле. Квазиимпульс. Энергетические зоны.

1) рас свобод электрон. Состояние свободно движущегося электрона характеризуется энергией и импульсом р:

Этому соответствует волна де Бройля, которой в свою очередь соответствует импульс .

Таким образом энергия электрона представляется в виде:

Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия Е остаётся постоянной. Это означает, что не меняется k, и, следовательно, остаётся постоянным импульс .

2) Рас электрон в кристалле.

На электрон в кристалле всегда действует периодическое поле решётки.Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменятся со временем под действием периодического поля.

Для электрона в кристалле можно ввести характеристику, аналогичную импульсу . Её называют квазиимпульс электрона. Он отличается от импульса свободного электрона. Если для обычного импульса операторный вид записывается , то для электрона в кристалле оператор квазиимпульса:

При

Т.е. без периодичности квазиимпульс тождественно обращается в обычный импульс.

Волновой вектор электрона в кристалле, в отличие от волнового вектора свободного электрона, неоднозначен.

Совокупность всех энергетических уровней электрона, описывающих ф-ей E(k) – энергетическая зона.

22. Энергетический спектр электрона в кристалле. Модель Кронига-Пенни. Случаи сильной и слабой связи.

Д ля нахождения энергетического спектра электрона в кристалле, необходимо решить одноэлектронное уравнение Шредингера +V(r))ψ( r)=Eψ( r) с периодичностью потенциала Собственные функции и собственные значения , зависят от вида . Точный вид потенциала определить практически невозможно, поэтому используют ряд приближений: некоторые характерные особенности энергетического спектра можно узнать, рассматривая простую одномерную модель периодического потенциала, которую называют модульюКронега-Пенни (К-П).

Графически этот потенциал представляется: он состоит из ряда ям и потенциальных барьеров. В этой модели прямоугольные ямы шириной а чередуются с барьерами ширины b. Период такой решётки . Таким образом, V(r):

Соответственно одномерное уравнение Шредингера будет записано в виде:

+V(r )=Eψ(r)

На этапе решения вводится обозначение:

В процессе решения получаем:

+ cosαa=cosKa

Введем обозначение:

- степень прозрачности барьера для электрона: степень связанности электрона в потенциальной яме, т.е. надо решить уравнение вида:

+ cosαa=cosKa

Его решение рассмотрим графически.Так как может принимать значения только в интервале (+1, -1), то допустимыми значениями являются такие, для которых левая часть уравнения так же находится в пределах (+1, -1). На рисунке интервалы разрешённых значений закрашены. Ширина этих интервалов зависит от параметра : чем оно меньше, тем он шире. Кроме того, ширина зависит от αa: при любом фиксированном эти интервалы расширяются при увеличении αa. Так как αи энергия Е тоже связаны, то все сказанное относится и к энерги

Энергия электрона в кристалле не может принимать любые значения: есть зона разрешённых энергий, и зона запрещённых энергий.