Метод узловых потенциалов
При расчете электрической цепи методом узловых потенциалов определяются потенциалы узлов цепи, а затем по закону Ома токи в ее ветвях. Метод целесообразно применять в тех случаях, когда число узлов цели меньше или равно числу независимых контуров этой цепи.
Так, для электрической цепи, имеющей четыре узла, составляется три расчетных уравнения (например, для узлов 1, 2 к 3 потенциал узла 4 принимается равным нулю):
где φk - искомый потенциал K-го узла цепи (K = 1,2, 3)
Gkk- (G11, например) собственная (узловая) проводимость k-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу;
Gkm -(G12, например) взаимная (межузловая) проводимость узлов k и m, равная суше проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами;
Jyk (Jy1, например) - узловой ток к-го узла, определяемый из выражения
Под знаком первой суммы произведения ЭДС ветвей, присоединенных к К-му узлу, на проводимости этих ветвей учитывается ЭДС с положительным (отрицательным) знаком, если она направлена к К-му узлу (от К-го узла). Под знаком второй суммы со знаком «+» ("-"} учитываются токи источников тока, которые направлены к К-му узлу (от К-го узла).
Применение метода узловых потенциалов при наличии в цепи идеальных источников эдс
Если в цепи между двумя узлами включен идеальный источник ЭДС (внутреннее сопротивление которого равно нулю), необходимо принимать равным нулю потенциал одного из его зажимов, тогда потенциал другого зажима источника будет равен ЭДС с соответствующим знаком, а количество расчетных уравнений сократится.
В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).
Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).
Теорема компенсации
Токи и напряжения произвольной электрической цепи не изменятся, если любую ветвь этой заменить либо идеальным источником напряжения, э.д.с. которого равна напряжению данной ветви направлена противоположно этому напряжению, тока, ток равен току рассматриваемой совпадает с ним по направлению.
Теорема компенсации базируется на общих свойствах основной системы уравнений электрического равновесия цепи и не накладывает ограничений тип рассматриваемой или характер внешнего воздействия.
Доказательство. Рассмотрим линейную электрическую цепь, находящуюся под гармоническим воздействием
Выделим в данной цепи произвольную ветвь, комплексное сопротивление которой равно Z,, (рис. 8.4, а). Напряжение и ток этой ветви связаны уравнением, составленным на основании закона Ома комплексной форме:
В соответствии с теоремой компенсации выделенную ветвь можно заменить либо идеальным источником напряжения, э. д. с. которого равна напряжению данной ветви и направлена навстречу этому (рис. 8.4, б),:
,
либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по направлению (рис. 8.4, б):
.
Основная система уравнений электрического равновесия каждой из цепей (рис. 8.4, б, в) совпадает с основной системой исходной цепи. Замена комплексного сопротивления Zk идеальным источником напряжения > соответствует переносу члена из левой части уравнений баланса напряжений в правую с соответствующим изменением знака. Уравнения преобразованной цепи (рис. 8.4, в) вместо тока протекающего через комплексное сопротивление Zk содержат равный ему ток идеального источника тока. Таким образом, цепи, схемы которых приведены на рисунке, являются эквивалентными.
Источники напряжения и тока, заменившие в соответствии с теоремой компенсации сопротивление ветви Zk, зависимые: э. д. с. источника напряжения прямо пропорциональна току ветви, содержащей этот источник, а ток тока пропорционален напряжению тока.
Теорема компенсации расширяет возможности эквивалентных преобразований электрических цепей.