Метод узловых напряжений
МУН основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа для независимых узлов электрической цепи. Один узел цепи принимается за базисный, его потенциал обычно задается равным0
Основная цель применения данного метода — уменьшение количества расчетных уравнений путем уменьшения числа неизвестных: вместо большого числа реальных токов в ветвях определяются промежуточные величины —напряжения между узлами схемы. Далее, зная эти напряжения, можно легко определить ток в каждой ветви, применяя закон Ома для пассивной или активной ветви.
1. Определение базисного узла схемы. Решение будет проще, если к базисному узлу будет подключено наибольшее количество ветвей цепи.
Если в цепи есть идеальные источники ЭДС, то базисный узел выбирают так, чтобы к нему присоединялась ветвь с идеальным источником ЭДС. В этом случае узловой потенциал следующего за источником ЭДС узла становится известным, тем самым в системе уравнений по МУН изначально уменьшится количество неизвестных.
2. Составление системы
уравнений по МУН. Система уравнений по
МУН для
узлов имеет следующую каноническую
форму записи:
—
собственная проводимость
п-го узла (сумма проводимостей
ветвей, подключенных к узлу п) .
Собственные проводимости — это
коэффициенты, располагающиеся по главной
диагонали матрицы сопротивлений, они
всегда положительны;
— суммарная проводимость
ветвей, соединяющих напрямую узлы п
и т (взаимная проводимость).
Коэффициенты вида
располагаются зеркально относительно
главной диагонали матрицы сопротивлений,
они всегда отрицательны;
—
«узловой» ток (алгебраическая
сумма токов всех ветвей, подключенных
к узлу п). Узловой ток определяется
как сумма токов всех источников тока и
сумма произведений ЭДС источников на
проводимость их ветви
.
Со знаком «+» слагаемые записываются в
случае, если ток источника тока и ЭДС
источника ЭДС направлены к узлу п.
Если в цепи есть ветви
с идеальным источником ЭДС, соединяющие
базисный узел с последующими узлами
цепи
Решением приведенной системы уравнений
являются значения узловых потенциалов,
которые представляют собой реальные,
но промежуточные величины.
3. Нахождение токов в ветвях схемы. Применить к каждой рассматриваемой ветви закон Ома.
,
,
.
Эти напряжения дают возможность сразу определить токи в ветвях 1-4, 2-4, присоединенных к базисному узлу. Ток в ветви 3-4 равен J.
Для определения токов в остальных ветвях (1-2, 2-3 и 1-3) найдем напряжения на их зажимах:
,
,
.
Далее по закону Ома определим токи в ветвях:
;
;
;
;
;
________________________________
Рассмотрим цепь, содержащую идеальные источники ЭДС.
Метод контурных токов
Метод контурных токов (МКТ) основан на составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для независимых контуров цепи. При этом предполагается, что в каждом условно изолированном контуре цепи протекает свой контурный ток (чисто расчетная, абстрактная величина). В методе используется следующее свойство: ток в любой ветви может быть представлен в виде алгебр суммы «контурных» токов, протекающих по этой ветви. Основная цель применения данного метода — уменьшение количества расчетных уравнений путем уменьшения числа неизвестных
1. Выбор направления токов в ветвях схемы и направления контурных токов в контурах схемы. Обычно контуры выбирают по «ячейкам» схемы. Если в схеме есть ИстТока, то контур выбирают так, чтобы он проходил через ветвь с ист.тока, в этом случае контурный ток считается известным (равным току ист). После этого ветвь с данным ист тока уже не должна входить в следующий выбранный контур.
2. Составление системы уравнений по МКТ. Система уравнений по МКТ для n контуров имеет следующую каноническую форму записи:
,
—
собственное сопротивление
п-го контура (сумма сопротивлений
ветвей, входящих в контур п) .
Собственные сопротивления — это
коэффициенты, располагающиеся по главной
диагонали матрицы сопротивлений, они
всегда положительны;
— сопротивление ветви, общей для контуров п и т (взаимное сопротивление). Если контурные токи в общей ветви сонаправлены, то взаимное сопротивление положительно, в противном случае — отрицательно. Коэффициенты вида располагаются зеркально относительно главной диагонали матрицы сопротивлений;
— контурный ток п-го
контура;
— контурная ЭДС (алгебр
сумма ЭДС, действующих в контуре п)
;
Если в цепи есть контуры
с ист.тока, то конт.токи этих контуров
считаются известными, а уравнение по
второму закону Кирхгофа для данного
контура не составляется (вместо него в
систему уравнений добавляется уравнение
вида
).Решением
п системы ур-ний явл значения конт.токов,
которые представляют собой промежут.величины.
3. Нахождение истинных токов в ветвях схемы по значениям контурных токов. Чтобы перейти к искомым значениям истинных токов ветвей, необходимо определить, какие конт.токи вносят свой «вклад» в ток рассматриваемой ветви. Если по ветви проходит только один конт ток, то он эквив. истинному току в данной ветви. Если через рассматр.ветвь проходит несколько контурных токов, то истинный ток ветви представляет собой алгебр.сумму конт.токов: со знаком «+» в нее входят конт.токи, сонаправл с током ветви, а с«-»—противоположнонапр
;
;
;
;
;
.
Применим МКТ для расчета цепи с идеальными источниками тока
;
;
;
;
;
;
.
В цепи 9 ветвей, из которых две содержат источники тока (в этих ветвях токи известны). Метод законов Кирхгофа предполагает решение системы из 7 уравнений, тогда как по МКТ для этой же схемы достаточно составить 2 уравнения. Докажем это. В заданной цепи определяются 4 независимых контура, первый и третий из которых проходят через ветви с источниками токов (контурные токи уже заданы), поэтому система уравнений по МКТ для данной схемы будет иметь вид:
.