Математич основы анализа цепей синусоидального тока

Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. При анализе и расчете сложных цепей переменного тока возникает необходимость совместного рассмотрения нескольких синусоидальных сигналов одинаковой частоты, между которыми есть фазовый сдвиг. Можно представить эти сигналы в привычном графическом виде (рис.3.3), однако в таком виде выполнение математических действий над ними оказывается достаточно трудоемким. Более простым и наглядным является представление синусоидальных функций с помощью вращающихся векторов

Синусоидальная функция может быть представлена вектором, длина которого равна амплитуде функции . В начальный момент времени вектор расположен под углом к горизонтальной оси. При увеличении вектор равномерно вращается против часовой стрелки с угловой скоростью .

Длина проекции вращающегося вектора на ось в любой момент времени будет равна соответствующ мгновенному значению ф-ции .

Таким образом, любой синусоидальный сигнал можно представить в виде вектора, равномерно вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте сигнала. Начальное положение вектора определяется начальной фазой сигнала, длина вектора — амплитудным значением сигнала. При таком представлении синусоидальных сигналов выполнение любых математических действий над ними сводится к операциям над соответствующими векторами.

Изображение на координатной плоскости совокупности таких векторов с учетом их взаимной ориентации по фазе называется векторной диаграммой

Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Основные законы электрических цепей справедливы для комплексных амплитуд, комплексов действующих значений, а также для амплитудных и действующих значений синусоидальных токов и напряжений.

Закон Ома. Общий вид закона Ома в комплексной форме: либо . В табл. 3.4 записан закон Ома для одноэлементного участка цепи. Сдвиг фаз

Уч-ток цепи	Запись закона Ома	Векторная диагр	СФ
Резистивный элемент			( )
Индуктивный элемент			( )
Емкостной элемент			( )

Таблица 3.5 — Закон Ома в комплексной форме для участка цепи с последовательным и параллельным соединением элементов R, L, C

Участок цепи	Запись закона Ома	Векторная диаграмма	Сдвиг фаз
Последо- вательная RLC-цепь			( ) индуктивный характер цепи
			) активный характер цепи
			( ) емкостной характер цепи
Параллельная RLC-цепь			( ) инд.хар. цепи
			( ) акт. хар. цепи
			( ) емк.хар. цепи

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма комплексов токов, сходящихся в узле, равна нулю : .

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме падений напряжений во всех ветвях контура: .