22)Пересечение прямой с плоскостью. Общий алгоритм решения

Алгоритм решения:

1. Заключаем прямую m во вспомогательную проецирующую плоскость.

2. Строим линии пересечения проецирующей плоскости с заданной плоскостью

3. Определяем точку встречи прямой с заданной плоскостью

4. Определяем видимость прямой

23) Общий случай пересечения плоскостей

24)Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость могут пересекаться или быть параллельными друг другу. Еще один случай — прямая лежит в плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.

Это определение. Сложность только в одном — как на практике проверить, что бесконечная прямая нигде не пересечет бесконечную плоскость? Для практического применения используется признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Этот признак часто используется в решении задач по стереометрии. Например, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD прямая АВ параллельна прямой СD — значит, АВ параллельна всей плоскости SCD.

25) Параллельность двух плоскостей

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей.

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a  || α и b  || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c . Поскольку a  || α, то по теореме о следе  c  ||  a . Аналогично получаем, что c  ||  b , тогда a  ||  b . Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то она оставляет на этих плоскостях параллельные следы.

Доказательство

Пусть α и β параллельны, γ – третья плоскость, которая пересекает их, причем α     γ  =  a , β     γ  =  b . Таким образом, a и b – следы плоскости γ на плоскостях α и β. Прямые a и b лежат в одной плоскости γ и не имеют общих точек, так как общих точек не имеют плоскости α и β. Следовательно, a  ||  b .

• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны.

Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство

На чертеже 2.3.4 показаны углы BAC и B ₁ A ₁ C ₁, причем AB  ||  A ₁ B ₁ и AC  ||  A ₁ C ₁. По признаку параллельности плоскостей плоскость BAC параллельна плоскостиB ₁ A ₁ C ₁.

Пусть соответствующие отрезки на сторонах угла равны: AB  =  A ₁ B ₁ и AC  =  A ₁ C ₁. Проведем прямые AA ₁, BB ₁, CC ₁. Четырехугольник ABB ₁ A ₁ – параллелограмм, так как AB  =  A ₁ B ₁ и AB  ||  A ₁ B ₁, следовательно, AA ₁  =  BB ₁ и AA ₁  ||  BB ₁. Аналогично докажем, что AA ₁  =  CC ₁. Отсюда следует, что BB ₁  =  CC ₁ и BB ₁  ||  CC₁, следовательно, CBB ₁ C ₁ – параллелограмм и CB  =  C ₁ B ₁. Теперь утверждаем, что Δ  ABC  =  Δ  A ₁ B ₁ C ₁, откуда     BAC  =       B ₁ A ₁ C ₁.