2.3.Свойства z-преобразования

Линейность. Если последовательности x_n и d_n имеют соответственно z-преобразования Х(z) и D(z), то при любых постоянных действительных коэффициентах а₁ и а₂ последовательность y_n=a₁x_n+a₂d_n имеет z-преобразование

Y(z)=a₁·X(z)+ a₂·D(z) (10)

Сдвиг последовательности (задержка). Если последовательность х_n имеет z-преобразование X(z) и х_п = 0 при п < 0, то последовательность у_п = х_п-т, пред­ставляющая собой задержанную на т интервалов дискретизации последовательность х_п, имеет z-преобразование

Y(z)=z^-m·X(z) (11)

Задержка сигнала на т интервалов дискретизации во времен­ной области эквивалентна умножению на z^-m в z-области.

С вертка последовательностей. Если последовательности x_n и h_n имеют со­ответственно z-преобразования X(z) и H(z), то последовательность y_n=x_n* h_n , представляющая собой свертку исходных последовательностей

имеет z-преобразование

Y(z)= X(z) ·H(z) (12)

Cвертка сигналов во временной области эквивалентна умноже­нию z-образов в z-области.

Перемножение последовательностей. Если последовательности х_п и d_n имеют соответственно z-преобразования X(z) и D(z), то последовательность у_п = x_nd_n имеет z-преобразование

(13)

где контур интегрирования С лежит внутри пересечения областей сходимости функ­ций X(v) и D>(z/ v). Соотношение (13) называют теоремой о комплексной сверт­ке.

Примеры последовательностей и их z-преобразования(|а| < 1, |r|<1)

Последовательность	Z-образ
xn=δn , n =0,1,2,...	1
xn=un , n =0,1,2,...	1/(1-z-1)
xn=un-m , n =0,1,2,...	z-m/(1-z-1)
hn=(-a1)n , n =0,1,2,...	1/(1+ a1·z-1)
hn= bm ·(-a1)n-m , n =0,1,2,...	bm · z-m /(1+ a1·z-1)
hn= b0 ·(-a1)n + b1·(-a1)n-1 n =1,2,...	(b0 + b1·z-1)/(1+ a1·z-1)
hn= {b0, b1, b2, …, bN-1}

2.4.Спектры аналоговых и дискретных сигналов

При описании какого-либо физического процесса как функции, изменяющейся во времени, важное значение имеет скорость этого изменения, т. е частота процесса. Частота во многих случаях является более информативной независимой переменной, чем время. Преобразование исходной записи процесса из временной формы в частотную осуществляется простой перегруппировкой данных. Для такой перегруппировки используется либо разложение исходного процесса по различным ортогональным системам функций, либо его интегральное преобразование.