2.4.7.Использование спектрального анализа

Спектральный анализ нашел широкое распространение для анализа данных.

Численный спектральный анализ периодической функции x(t) , заданной на отрезке [0,n∆] дискретными отсчетами, заключается в нахождении коэффициентов ряда a₀,a₁,…a_N/2, b₀,b₁,…b_N/2

Также используется и такая формула для того же преобразования:

Коэффициенты вычисляются по формулам численного интегрирования метода прямоугольников:

Найденные коэффициенты Фурье для N/2 гармоник приближают x(t) рядом с наименьшей среднеквадратической погрешностью. Численный спектральный анализ совместно со спектральным синтезом является разновидностью метода наименьших квадратов.

Спектральный анализ непериодических финитных функций заключается в вычислении составляющих их комплексной спектральной плотности:

G(jf)=G_C(f)+jG_S(f)=G(f)∙e^jφ(f)

где

Коэффициенты находят по формулам:

Здесь f и m – любые вещественные числа.

2.4.8. Характеристики спектрального состава

1. Наглядное представление о частотном составе процесса дает графическое изоб­ражение спектральной плотности в логарифмическом масштабе по оси ординат, чтобы обеспечить возможность отражения широкого диапазона амп­литуд и изображения доверительных интервалов в виде одного верти­кального отрезка для всех частот.

2. Поскольку при анализе периодиче­ских процессов получаемые значения дискретного спектра зависят от вели­чины разрешения по частоте, то при определении спектральной плотности принято указывать величину разреше­ния ∆f, необходимую для сопоставле­ния различных спектральных плотно­стей. При этом удается не только разли­чить детерминированный или случай­ный характер колебания, но и выя­вить, в частности, при малом ∆f периодические компоненты спектра, их положение, а также выбрать при боль­шом ∆f (сильно сглаженный спектр) соответствующую модель процесса.

3. Минимальная частота процесса f_min, представленная в спектральной плот­ности, как правило, определяется дли­тельностью анализа, т. е. полным периодом самой низкочастотной ком­поненты спектра f_min≤1/T.

4.Максимальная частота f_max как верхняя граница спектра, принимае­мая во внимание при исследовании процессов, может быть оценена на основании выбора значи­мой (существенной) доли дисперсии, например 90—99 %, содержащейся между двумя частотными пределами, путем интегрирования спектральной плотности:

Например, при случайных колебаниях простейшей колебательной системы с одной степенью свободы, имеющей декремент колебаний, меньший еди­ницы, максимальная частота спектра, ограничивающая не менее 98 % дис­персии процесса, может быть принята равной удвоенному значению собст­венной частоты системы. При дис­кретном представлении и соответст­вующей спектральной обработке процессов максималь­ная частота по теореме Котельникова не может быть больше поло­вины частоты дискретизации, и в этом случае ее часто называют частотой Найквиста.

5. Отношение наибольшей и наимень­шей частот спектра определяет час­тотный диапазон колебательного про­цесса. Частотный диапазон, соответ­ствующий двукратному изменению ча­стоты, называется октавой, а десяти­кратному — декадой. Ширина час­тотного диапазона как разность гра­ниц спектра определяет число всех составляющих, включаемых в рассмо­трение колебательного процесса. Эту ширину иногда называют активной полосой спектра, поскольку она опреде­ляет долю полной дисперсии процесса, содержащейся между двумя установ­ленными частотными пределами.

Для исследования частотного соста­ва процесса использу­ются качественный и количественный анализы полученной спектральной плотности. При этом основное внимание уделяется таким особенностям спектра, как его максимумы, минимумы и на­клонные участки.

6.Наибольшей ин­формативностью обладают макси­мумы (пики) спектра, показывающие нали­чие наиболее мощных, с точки зрения уровня, компонент процесса. Если четко выраженные интенсивные пики на графике спектральной плотности соизмеримы по ширине с разрешающей способностью спектрального анализа, а их уровень и ширина зависят от этой разрешающей способности, то характер спектра дискретный. Выявление гар­моник незначительной мощности тре­бует специального, более трудоем­кого анализа.

7. Часто в спектрах наблюдаются также резко выраженные минимумы (про­валы), природа которых может быть различной. Часть из них обусловлена наличием частот «антирезонанса», не­подвижных узловых точек формы ко­лебаний, деструктивной (противофаз­ной) интерференции различных вол­новых процессов и т. п., другие— не являются информативными, например глубокие случайные провалы между соседними самостоятельными пиками от компонент различного происхо­ждения.

8. Более пологие и более широкие подъемы спектральной плотности в от­личие от упомянутых узких макси­мумов чаще всего обусловлены слу­чайными колебаниями в окрестности резонансных частот системы. Основ­ными характеристиками соответству­ющих участков непрерывного спектра являются центральная (средняя) ча­стота и ширина спектра. Наиболее просто определить центральную ча­стоту узкополосного колебательного процесса как частоту f₀₁, соответству­ющую максимальному значению спект­ральной плотности G (f₀₁) = G_max. В общем случае для описания частот­ных свойств процесса с несимметрич­ным спектральным максимумом целе­сообразно рассмотреть оценки мгновен­ной частоты, полученной с помощью преобразования Гильберта. Пред­ставляет интерес математическое ожи­дание мгновенной частоты f₀₂,

которое для случайных нормальных процессов оп­ределяется из выражения

При этом полученное значение f₀₂ будет соответствовать координате це­нтра тяжести фигуры, ограниченной спектральной кривой.

9. Известно, что даже при весьма уз­ком спектральном пике мгновенная частота случайного процесса может принимать отрицательные значения, затрудняющие физическую интерпре­тацию частотного состава колебаний. Поэтому вводят понятие математиче­ского ожидания абсолютной величины мгновенной частоты как неотрицатель­ной функции времени f₀₃

Величина ма­тематического ожидания модуля мгно­венной частоты для случайных нор­мальных процессов есть среднее квадратическое значение частоты, которое равно радиусу инерции фигуры, огра­ниченной спектральной плотностью, относительно оси, проходящей через 0 Гц:

Значение центральной частоты совпадает со средним числом пересе­чений процессом его нулевого уровня.

Все оценки центральной частоты оцен­ки применительно к изолированному максимуму спектральной плотности дают весьма близкие результаты. Неко­торое предпочтение можно отдать ма­тематическому ожиданию модуля мгно­венной частоты. Необходимо также отметить, что статистические оценки мгновенной ча­стоты дают некоторую осредненную оценку частотного состава всего про­цесса с учетом всех его спектральных составляющих. Поэтому, если спект­ральная плотность колебаний имеет не­сколько максимумов, то любая из двух приведенных статистических оце­нок, основанных на выделении мгно­венной частоты, даст всего лишь одно некоторое взвешенное значение для всего спектра, не обязательно совпада­ющее с частотами этих максимумов. Поэтому, в реальном случае, когда в спектре процесса имеется не­сколько максимумов, необходима пред­варительная частотная фильтрация, которая позволяет выделить отдельно каждый максимум с последующим оп­ределением мгновенной частоты и ее оценок. Определение центральной ча­стоты каждого максимума возможно также на основании спектральной плот­ности процесса, изменяя пределы интегри­рования на границы соответствующей частотной полосы.

10. Ширина спектрального максимума представляет собой идеализированную величину, обычно равную ширине пика, график спектральной плотности кото­рого имеет прямоугольную форму. Ширину реального максимума можно охарактеризовать различными путями, в частности как ширину пика по уров­ню половинной энергии, представля­ющую собой разность между верхним и нижним значениями частоты, при которых спектральная плотность вдвое (на 3 дБ) меньше максимального зна­чения.

Эквивалентная ширина пика по дисперсии определяется формулой

и представляет собой ширину ги­потетического прямоугольного пика, имеющего ту же площадь (дисперсию) и высоту, что и исследуемый

Эквивалентная статистическая ши­рина, определяемая формулой

есть ширина гипотетического прямо­угольного пика, который получен с той же статистической ошибкой, что и наблюдаемый максимум спектральной плотности

При использовании мгновенной ча­стоты средняя ширина спектрального максимума ∆f_п4 равна математическому ожиданию абсолютного значения от­клонений мгновенной частоты от цент­ральной частоты f₀:

Для случайных нормальных процессов эта ширина может соответствовать ра­диусу инерции фигуры, ограниченной спектральной плотностью, относи­тельно центральной частоты f₀₂:

Эта же величина входит в выражение для плотности распределения вероят­ностей мгновенной частоты случайного нормального процесса:

Перечисленные оценки ширины изоли­рованного пика спектра приведены в табл 7 применительно к характер­ным типовым процес­сам.

7. Оценки ширины спектрального пика типовых процессов

Колебательный процесс	Ширина спектрального пика
	по уровню половинной энергии fп1	эквивалент­ная по дис­персии fп2	эквивалент­ная статисти­ческая fп3	по отклоне­нию мгновен­ной частоты fп4
Случайные процессы	δf0/π	δf0/2	δf0
Ограниченный белый шум в полосе частот ∆f	∆f	∆f	∆f	∆f ∙√3/6

Соотношение ширины полосы частот, где сосредоточена спектральная плотность процесса, и центральной ча­стоты этой полосы позволяет условно разделить все процессы на узкополосные, если ∆fп<<f₀, и широкополосные, если∆fп>>f₀. Естественно, что узкополосный случайный процесс при бесконечном уменьшении ширины спектра при­ближается к моногармоническому. Од­нако важнейшее различие между ними состоит в том, что в случайном про­цессе всегда возможно появление так называемых сложных циклов, характеризуемых наличием положи­тельных минимальных и отрица­тельных максимальных значений про­цесса. Появление сложного цикла соответствует отрицательному значе­нию мгновенной частоты. Условие, определяющее вероятность появления отрицательных значений мгновенной частоты, имеет вид

P[f(t)<0]=0,5(1-f₀₂/f₀₃)

откуда следует, что вероятность появления сложных цик­лов в колебаниях системы с одной степенью свободы прямо пропорциональна декременту колеба­ний , т. е. для колебаний с декрементом, меньшим еди­ницы, вероятность менее 5 %.

Во многих случаях частотный сос­тав исследуемых процессов характери­зуется широкополосными спектрами, которые имеют место при наличии нескольких выраженных резонансных макси­мумов. При этом обычно первые мак­симумы отстоят друг от друга по оси частот на расстоянии, значительно превышающие ширину резонансных пиков. Поэтому на низких частотах можно наблюдать ряд ярко выраженных резонансных подъемов, чередую­щихся глубокими спадами. На более высоких частотах при неизменной ве­личине декремента колебаний ши­рина пиков растет пропорционально значению собственной частоты и становится равной расстоя­нию между соседними пиками. Поэ­тому при повышении частоты резонанс­ные подъемы становятся все менее ярко выраженными и затем сливаются, образуя плавную кривую.

11. Наклон (крутизна) спектральной кривой, обычно выражаемый в де­цибелах на октаву, используется для оценки общих свойств спектра на достаточно протяженных частотных ди­апазонах и характеризует общие свой­ства поглощения и возбуждения энер­гии в зависимости от частотного соста­ва процесса.

В случае, когда основная доля дис­персии процесса сосре­доточена в области верхних частот, соответствующий спектр принято на­зывать высокочастотным. При боль­ших значениях спектральной плот­ности в окрестности, примыкающей к нижней частоте диапазона, спектр называют низкочастотным.

Рассмотренным непараметрическим методам спектрального оценивания на­ряду с высокой эффективностью в вы­числительном отношении присущ ряд принципиальных ограничений, связан­ных с возможностями частотного разре­шения (т. е. со способностью различать спектральные линии нескольких сиг­налов), а также с неявной обработкой данных при выполнении преобразова­ния Фурье. Указанные ограничения в большей степени проявляются при нализе достаточно коротких реализа­ций, например при исследовании переходных процессов.