2.4.1.Интегральное преобразование Фурье

Функция х(t) называется периодической с периодом р>0, если x(t+р)= x(t) для любою t. Если функция х(t) имеет период р, то она имеет и периоды 2р, 3р и т.д., но периодом называется наименьший период функции. Функция y(t)= х(ft) имеет период p/f. Следовательно, можно построить функции с каким угод­но периодом.

Определение, периодична ли функция, как правило, не вызывает труда. Если функция задана в виде последовательности значений, установить периодичность обычно труднее. Если анализируемые данные со всей очевидностью не являются периодическими, то в качестве первого важного шага надо выявить (на глаз, методом наименьших квадратов и т. д.) непериодиче­ский тренд и вычесть его из данных.

Интегральное преобразование Фурье абсолютно интегрируемого на бесконечном интервале процесса х (t)(т.е. аналогового сигнала) определяется в виде выражения

где f - частота спектральной составляющей (гармоники) (Гц), Х- амплитуда этой гармоники.

Это выражение называют прямым преобразованием Фурье.

И сходный сигнал можно определить с помощью обратного преоб­разования Фурье

Функция X (j, f) представляет собой спектральную характеристику ис­ходной функции х(t) и называется комплексным амплитудным спектром. Действительная С(f) и мнимая jQ(f) части функции X(t,f) имеют названия соот­ветственно — синфазный спектр (ко­спектр) и квадратурный спектр. На векторной диаграмме последний ока­зывается повернутым на π/2 по от­ношению к первому, что и объясняет название «квадратурный». Модуль комплексного амплитудного спектра

называется амплитудным спектром, а выражение

называют начальным фазовым спектром.

При спектральном анализе экспе­риментально полученных записей исследуемого процесса возникает ряд трудностей, которые связаны с вы­числением интеграла, а также с бесконечными пределами интегрирования. Бесконечные пределы интегрирования совершенно неприемлемы для практического по­лучения точных спектров процессов. Непосредственное интегральное преобразование Фурье записи процесса конечной длительности Т дает лишь текущий (финитный) спектр:

который зависит не только от частоты, но и от конечной длительности реали­зации Т. При этом получается сгла­женный спектр, разрешение по частоте которого Δf (т. е величина частотного интервала, позволяющая различить два соседних пика бигармонического про­цесса) обратно пропорционально дли­тельности анализируемой реализации

Δf~T^-1

Иногда с целью получения спектра­льной характеристики, отражающей не всю историю процесса х(t), а лишь его свойства в коротком временном интервале, непосредственно примыка­ющем к данному моменту наблюдения, используют мгновенный спектр:

При обработке реализаций случай­ного процесса получаются не­устойчивые спектры. Избавиться от такой нестабильности за счет усред­нения комплексного текущего спектра невозможно, поскольку это приведет к нулевому спектру из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих. Чтобы получить ста­тическую спектральную оценку процесса х(t), используют одностороннюю выборочную спектральную плотность (периодограмму), которая показывает, как дисперсия реализации процесса распределена по частоте:

G_T(f)=2T_-1|X_T(f,T)|² , где f≥0

Выборочная спектральная плотность G_T(f) является несостоятельной спек­тральной оценкой, поскольку при уве­личении длины реализации Т она не становится более устойчивой, т. е. не сходится в каком-либо статистиче­ском смысле к предельному значению при T→∞. Рассматривая G_T(f) как случайную величину по всем возмож­ным реализациям про­цесса при увеличении Т, получаем выражение для односторонней спект­ральной плотности (автоспектра, энергетического спектра) процесса:

где знаком М показан оператор математического ожидания, обознача­ющий операцию усреднения по реализациям случайного процесса.

Спек­тральная плотность G(f) и ковариаци­онная функция процесса R (τ) свя­заны друг с другом преобразованием Фурье:

Спектральная плотность является основной характеристикой частотного состава колебательного процесса; она обычно интерпретируется как распре­деление его дисперсии по частоте и имеет размерность, равную квадрату размерности измеряемого параметра, деленному на герц. Спектральные плот­ности виброускорения, виброскорости и виброперемещения связаны между собой простыми соотношениями:

Все приведенные формулы преобразования Фурье являются его комплексным представлением. Существует также иная форма представления - называемая интегральным косинус- и синус-преобразованием Фурье. Переход от одной формы к другой можно выполнить на основании формулы Эйлера:

e^j2πft=cos 2πft +j sin 2πft, j²=-1

Если функция х_а(t) – вещественная, то ее можно представить в виде разности двух несобственных интегралов (обратное преобразование Фурье):

где функции А и В определяются равенствами (f≥0)

Функции А и В называются интегральными косинус-преобразованием и синус-преобразованием Фурье функции x_а(t).

Функция sin 2πft принимает одинаковые значения через каждые 2π радиан и имеет радиальную, или угловую, частоту 2πf и круговую частоту f. Если t представляет собой время, измеряемое в секундах, то sin 2πft имеет радиальную частоту 2πf радиан в секунду и круговую частоту f оборотов в секунду. Период 1/f функции sin 2πft является величиной, обратной к круговой частоте. Если t измеряется в единицах длины, например в миллиметрах, то период называется длиной волны, а радиальная частота -волновым числом.

Функция X(j,f) определена как для положительных, так и для отрицательных значений f. Если положить, что при отрицательных f : А(—f) = А(f), В( —f) = — В(f), то получим соотношение косинус преобразования для комплексных чисел: X(j,f) = (А(f) — iB(f))/2.

Комплексное представление преобразования Фурье имеет преимущества:

1. позволяет компактно записать большинство формул преобразования.

2. при проведении двумерных преобразований, например при обработке изображений, используются почти исключительно комплексные обозначения. Они также широко применяются в цифровой обработке сигналов.