2.4.4.Физическая интерпретация

Каждое из указанных трех представлений функции x(t) можно интер­претировать как сумму по частотам. Для интегрального преобразования Фурье ω является частотной переменной, а интегралы, дающие значение x в точке t, представляют собой «сумму» по всем возможным частотам. В случае дискретного преобразования Фурье удобно представлять себе x_n, как величины, наблюдаемые через каждые Δ единиц времени. Величина T=NΔ называется длиной записи или основным периодом. Основная круговая частота определяется как 1/Т. В дискретном преобра­зовании Фурье выражения вроде 2πnk/N можно записывать в виде 2πnΔk/N и тогда при определении значения x_n (в точке nΔ) суммирование производится по частотам, которые являются целыми кратными основ­ной частоты. Каждая из них на основную частоту меньше следующей. Наибольшим множителем перед основной частотой будет N/2, что соответствует максимальной частоте (N/2)∙1/T=1/(2∆), которая назы­вается частотой Найквиста в честь инженера Гарри Найквиста (1889-1976), введшего это понятие при решении задач о телеграфных сообщениях. Частоты, более высокие, чем частота Найквиста, данными определяться не могут. Величина а₀ представляет собой среднее арифметическое всех величин x_i и называется постоянной компонентой. Дискретное преобразование Фурье это есть представление функции x(t) точ­ках k = 0, .., N — 1 в виде суммы в постоянной компоненты и конечного числа членов с разными частотами.

В случае ряда Фурье суммирование также производится по целым кратным основной частоты 1/(b — а). Каждая частота меньше следую­щей на эту величину. Член А₀/2 представляет собой среднее значение функции x(t) на [а, b]. Разложение в рад Фурье показывает, что на [а,b] функцию x(t) можно записать в виде суммы постоянной компоненты и бесконечного числа членов с разными частотами. Эти частоты не являются произвольными, они находятся в отношении 1:2:3:4: ... . Не каждая периодическая функция представляет собой синусоиду, но каждую периодическую функцию можно записать в виде ряда из синусоид с частотами, равными целым кратным основной частоты.

В каждом из трех случаев существует определенная эквивалентность между x(t) и ее синус- и косинус-преобразованиями, между x(t) и ее коэффици­ентами Фурье: одно можно получить из другого. В математике есть много пар преобразований; например, Лапласа, Ханкеля, Z и т. п. Работать ли с функцией x(t), с ее синус- и косинус-преобразованиями или с ее рядом Фурье - это вопрос удобства, решение которого зависит от конкретных приложений.

В некоторых приложениях интегральные преобразования являются ключевыми математическими инструментами. В таких областях, как цифровая обработка сигналов, изучаемые величины являются дискрет­ными, и поэтому интегралы заменяются бесконечными суммами. Но независимо от своего происхождения доступные данные на практике всегда образуют набор чисел, представляющий собой некоторую выборку экспериментальных наблюдений

При обработке экспериментальных данных обычно вычисляют дискретное преобразование Фурье. Для этого разработаны высокоэффективные приемы, среди которых самый главный - быстрое преобра­зование Фурье. С помо­щью этих приемов можно получить оценки ряда Фурье исходной функции или ее интегральных преобразований Фурье. Интервал между точками выборки определяется измерительной аппаратурой, но инженер должен понимать его роль.