3. Дифференцируемые функции. Дифференциал. Частные производные.

Полное приращение функции.

Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у).Полным приращением функции z=f(х,у) называется разностьΔz= Δf(x, y) = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y).

Полный дифференциал и дифференцируемость функции.

Составим полное приращение функции в точке М:Δz = f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y) .

Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полноеприращение в этой точке можно представить в виде

Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy , (1)

Гдеα =α (Δx;Δy)→0 и β = β (Δx;Δy)→0 при Δx→0,Δy →0 .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную частьприращения функции.

Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительно Δx и Δy , называется

полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz= AΔx+ BΔy. (2)

Выражения A Δx и B Δy в равенстве (1) называют частными дифференциалами. Длянезависимых переменных х и уполагают Δx= dxи Δy= dy . Поэтому равенство (2) можнопереписать в виде

dz= Adx+ Bdy . (3)

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Понятие дифференциала можно применить к и для приближенного вычисления. Пусть задана z = f(x; у) и пусть имеется некоторое приращение Δx и Δy, тогдазначение функции в точке может быть вычислено по следующей формуле: - формула приближенного вычисления.

Частные производные

Пусть задана функция z = f(х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δx; сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается z_xΔ. Итак, z_xΔ = f (x + Δx; y) − f (x; y) .

Аналогично получаем частное приращение z поу:

z_уΔ= f (x; y + Δy) − f (x; y) .

Полное приращение Δzфункции z определяется равенством

Δz= f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y) .

Если существует предел

то он называется частной производной функции z =f(х; у) в точке М(х; у) по переменной х и

обозначается одним из символов: .

Частные производные по x; в точке Мо(x0;y0) обычно обозначают символами: .

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(х; у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или усчитается постоянной величиной).

4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

Теорема (необходимое условие):

Если функция z = f(x,y) непрерывна в некоторой точке М, а её частные производные , тогда существует дифференциал этой функции, имеющий вид: (- формула дифференциала функции двух переменных). ( )

Доказательство.

Пусть 

Отсюда,   Если  х − независимая  переменная, то  и окончательно  

Теорема (достаточное условие):

Если функция z = f(x,y) непрерывна в некоторой точке М(х;у) и имеет непрерывные частные производные , то она дифференцируема, имеет полный дифференциал.

Доказательство.

На пример возьмем функцию двух переменных.

Для функции z = f(x,y) полное приращение в точке М₀(хо;уо) имеет вид: Δz= Δf(x, y) = f (x₀+ Δx, y₀+ Δy) − f (x₀, y₀). Прибавим и вычтем в левой части этого соотношения функции f (x₀+ Δx, y₀). Тогда Δz можно записать так:Δz=( f (x₀+ Δx, y₀+ Δy) − f (x₀+ Δx, y₀))+ (f (x₀+ Δx, y₀)- f (x₀, y₀)).

Применяя теорему Лагранжа к разностям функции одной переменной, стоящих в скобках, получим:

Где . Ясно, что при .

Поскольку частные производные непрерывны, то

,

Откуда следует, что и , где и - бесконечно малые функции при .Учитывая это, соотношение (2) можно переписать в следующем виде:

.

Заметим, что выражение представляет собой бесконечно малую функцию при , имеющую более высокий порядок, чем . Если обозначить эту бесконечно малую функцию , где , то полное приращение функции запишется в виде: , где А1 и А2 – вещественные числа, а - бесконечно малая при , более высокого порядка, чем . Следовательно, функция z = f(x,y) дифференцируема в точке Мо.