7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о смешанных производных.

Частными производными второго порядка от функцииz = f(x,y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным

переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования равны между собой, если они непрерывны, например: .

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка функции z = f(x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. .

Если х и у – независимые переменные и функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле: .

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d^kz = d (d^k-1z).

8. Необходимые и достаточные условия экстремума функций нескольких переменных.

Понятие экстремума для функции нескольких переменных.

Пусть задана функция z = f(x,y) определенная и непрерывная в окрестностях точки М₀(х₀, у₀). Точка М₀

Называетсяточкой максимума, если в некоторой δ-окрестности точки М₀ для любой точки М(х, у) имеет место неравенство: f(х₀, у₀)≥f(х, у).

Аналогично точка М₀(х₀, у₀) называется точкой минимума для заданной непрерывной функции z = f(x,y), если в некоторой ее δ-окрестности для любой точки М(х, у)имеет место неравенство: f(х₀, у₀)≤f(х, у).

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремумафункции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема (необходимое условие)

Необходимым условием существования экстремума заданной точки М₀является равенство нулю частных производных в этой точке.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у, считая у = у₀. Тогда функция f (x, y₀) будет функцией одной переменной х, для которой х = х₀ является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Теорема (достаточное условие)

Пусть в стационарной точке (х₀, у₀) и в некоторой ее окрестности функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно.

Тогда:

1. Если Δ>0, то функция f(x;y) в точке (x₀, y₀)имеет экстремум, причем max – если A<0 и min, если A>0.

2. Если Δ<0, то функция f(x;y) в окрестностях точки m(x₀, y₀) экстремума не имеет.

3. Если Δ=0, то функция f(x;y) может иметь, а может и не иметь экстремумов в точке (x₀, y₀), необходимо дополнительное исследование.

Доказательство.

Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f (x, y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:

где Если угол между отрезком М₀М , где М (х₀+Δх, у₀+Δу), и осью Ох обозначить φ, то Δх = Δρcosφ, Δy = Δρsinφ. При этом формула Тейлора примет вид: . Пусть Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А. Получим:

. (5.1)

Рассмотрим теперь четыре возможных случая:

1. AC-B² > 0, A< 0. Тогда , и при достаточно малых Δρ. Следовательно, в некоторой окрестности М₀f (x₀ + Δx, y₀ + Δy) <f (x₀ , y₀), то есть М₀– точка максимума.

2. Пусть AC – B² > 0, A> 0. Тогда , и М₀ – точка минимума.

3. Пусть AC-B² < 0, A> 0. Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча φ = 0. Тогда из (5.1) следует, что , то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча такого, что tgφ₀ = -A/B, то , следовательно, при движении вдоль этого луча функция убывает. Значит, точка М₀ не является точкой экстремума.3`) При AC – B² < 0, A< 0 доказательство отсутствия экстремума проводитсяаналогично предыдущему. 3``) Если AC – B² < 0, A = 0, то . При этом . Тогда при достаточно малых φ выражение 2Bcosφ + Csinφ близко к 2В, то есть сохраняет постоянный знак, а sinφ меняет знак в окрестности точки М₀ . Значит, приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки, которая поэтому не является точкой экстремума.

4. Если AC – B² = 0, а , , то есть знак приращения определяется знаком 2α₀. При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование.