18. Теорема Остроградского-Гаусса. Формулы Стокса и Грина.

Связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралам по объему ограниченной этой поверхности устанавливается след.образом:

Теорема.

Если функции R(x;y;z) – YOZ, P(x;y;z) – XOZ, Q(x;y;z) – XOY непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой области V, то имеет место следующая формула:

Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

, ,

.

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхностьS, и зададим в этой области функциюP(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ: .

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

= .

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

где область D ограничена линиейL. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

и подставим его в предыдущее равенство:

. Тогда

= Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-стиσ:

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

= .

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функцииQ(x, y, z) иR(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

= ,

= .

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

(15.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

. (15.7)

Формула Грина.

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границеLэтой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная областьD. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y₁(x)иy = y₂(x), y₁(x) ≤ y₂(x), a ≤ x ≤ b (рис.1).

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

.

Переходя к двукратному интегралу, получим:

(11.5)

Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что

.

Подставим полученные результаты в формулу (11.5):

(11.6)

так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.

Так же можно получить, что (11.7)

Вычтем из равенства (11.6) равенство (11.7):

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

(11.8)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.

Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в правой части формулы (11.8) стоит его циркуляция по контуру L.