11. Тройные интегралы. Основные свойства. Вычисление в декартовых координатах.

Обобщение определенного интегрирования на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла и определена по аналогии, добавим третью переменную.

(*)

d – максимальный радиус (диаметр) полученного тела. Тогда этот предел называется тройным интегралом.

dV – дифференциал объема(dxdydz)

Теорема существования тройного интеграла.

Если функция u=f(x;y;z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегрирования суммы(*) при n существует и не зависит от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек .

Свойства тройного интеграла.

1. Константу можно вынести за знак интеграла

2. 

3. Пусть V=V1+V2

4. Если f(x;y;z)≥0, то .

Если f(x;y;z)≥g(x;y;z), то

5. Если f(x;y;z)=1, то численно равенобъему этой области.

6. Пусть m и M – наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x;y;z), заданной области V, тогда имеет место следующее неравенство: - неравенство оценки тройного интеграла.

7. Теорема о среднем значении.

Если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка с координатами , такая, что выполняется следующее равенство: или

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть область интегрирования V, ограниченная сверху функцией z=z₁(x;y), а снизу z=z₂(x;y), причем пусть z₁(x;y)≤z₂(x;y)и пусть область D-проекция тела на плоскость XOY, тогда тройной интеграл этой функции может быть вычислен по формуле:

dS – площадь проекции плоскости D на ось XOY.

12. Полярные координаты на плоскости. Замена переменной в двойных интегралах. Якобиан.

 Если наряду с полярными координатами (φ; r) точки плоскости ввести также ее декартовы координаты, как это показано на рис. 1.5, то связь между ними выразится очевидными формулами:  По этим формулам осуществляется переход от полярных координат точек плоскости к декартовым. Обратный переход, от декартовых координат к полярным, осуществляется по формулам,

Замена переменной в двойных интегралах.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто используется метод подстановки, т.е. вводятся новые переменные под знак двойного интеграла.

Пусть переменные x и y зависят от новых переменных u и v:

И пусть определитель, составленный по частным производным первого порядка в некоторой области отличен от нуля.

- определитель Якоби.

Тогда имеет место формула замены переменных в двойном интеграле:

Рассмотрим частный случай полученной формулы 0 это замена декартовой координат полярной.

x=rcosφ, y=rsinφ

Подставим полученные значения в последнюю формулу: - формула перехода декартовой системы координат к полярной по знакам двойного интеграла.

Вычисляется двойной интеграл в полярных координатах так же, как и в декартовых, т.е. двойной интеграл сводится к двукратному.

13. Замена переменной в тройных интегралах. Якобиан. Вычисление интегралов в сферических и цилиндрических координатах.

При вычислении тройного интеграла часто применяется метод подстановки, т.е. совершается замена переменной.

Пусть и определитель Якоби отличен от нуля.

Имеет место такая формула:

1 случай. Переход к цилиндрическим координатам.

- переход от декартовых к цилиндрическим координатам.

- Якобиан для цилиндрических координат.

2 случай. Переход к сферическим координатам.

При переходе к сферическим координатам , тогда формула перехода: Сферические координаты удобно применять к телу, которое имеет сферу

14. Криволинейные интегралы 1-го рода. Определение, свойства и вычисление. Длина дуги кривой.

Пусть на плоскости XOY задана непрерывная кривая АВ.

АВ=(L)

Разобьем заданную кривую на n дуг точками (M₀=A,M₁,M₂,M…,M_n=B)

Каждой i-ой дуге выберем точку и соответствующее значение f(x_i;y_i) и пусть ∆_li – длина i-ой дуги. Составляем сумму: - интегральная сумма для точек кривой АВ.

Пусть λ – длина наибольшей дуги, тогда, если существует предел - криволинейный интеграл первого рода.

Теорема (условие существования криволинейного интеграла первого рода)

Если функция f(x;y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой АВ, то криволинейный интеграл первого рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек кривой.

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. криволинейный интеграл первого рода не зависит от пути интегрирования.

2. 

3. 

4. , где

5. Если для точек кривой L выполняется неравенство , то

6. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл – это есть длина дуги:

7. Если функция f(x;y) непрерывна на кривой АВ, тона этой кривой найдется какая-то точка с координатами , такая, что имеет место следующее равенство:

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Рассмотри различные случаи задания кривой интегрирования.

1. Параметрическое задание кривой. Если кривая АВ задана в параметрическом виде x=x(t), y=y(t), , причем в точке А, в точке В, тогда имеет место следующая формула:

Если кривая задана в пространстве, то для функции f(x;y;z), x=x(t), y=y(t), z=z(t). , причем в точке А, в точке В:

2. Явное представление кривой. Если кривая АВ задана в явном виде, т.е. , причем в точке А х=а, в точке В х=в и функция непрерывно дифференцируема, то имеет место следующая формула:

Дифференциал кривой:

3. Полярное представление кривой интегрирования. Если кривая АВ задана полярным уравнением r=r(φ) , тогда имеет место следующая формула: