5.Число степеней свободы и подвижность механизма.

Степенью подвижности механизма (или числом степеней свободы механизма) называется количество обобщённых (независимых) координат, которое должен иметь механизм для того, чтобы все его звенья имели вполне определённые движения.

Представим себе, что нам необходимо спроектировать механизм из звеньев.

Так как каждое звено, будучи свободным в пространстве, обладает шестью степенями свободы, то получим:

– общее количество степеней свободы всех звеньев.

При образовании кинематической цепи звенья теряют свои степени свободы.

Если в кинематической цепи

– количество кинематических пар 5-го класса, а каждая такая пара накладывает пять условий связей на относительное движение звеньев, поэтому

– общее количество условий связей, наложенных всеми парами 5-го класса.

– количество кинематических пар 4-го класса. Так как каждая пара 4-го класса накладывает четыре условия связей, то

– общее количество условий связей, наложенных на относительное движение звеньев всеми парами 4-го класса. И далее по аналогии.

Если обозначить как общее количество условий связей в кинематической цепи, наложенное парами всех классов, то .

Количество степеней свободы кинематической цепи определится разностью между числами и : .

При образовании механизма одно из его звеньев должно быть сделано неподвижным (стойкой), при этом теряется ещё шесть степеней свободы. Тогда число степеней свободы механизма будет: , или .

Обозначив ( –количество подвижных звеньев механизма относительно стойки), имеем .

Эта формула называется формулой Сомова – Малышева.

П о существу означает чаще всего количество ведущих звеньев механизма.

В случае плоского механизма все звенья в его составе обладают не шестью степенями свободы, а только тремя. Поэтому для получения формулы степени подвижности необходимо из всех коэффициентов формулы Сомова – Малышева вычесть число 3:

Проведя соответствующие действия в скобках, находим окончательно .

Эта формула носит название формулы Чебышёва.

Пример. Механизм поперечно-строгального станка

Обозначим номера подвижных звеньев данной схемы арабскими цифрами, их количество составит n = 5, римскими цифрами обозначим номера кинематических пар 5-го класса, получив их количество p₅ = 7, пары 4-го класса в этом механизме отсутствуют, т. е. p₄ = 0. Расчёт по формуле Чебышёва даёт

W = 3·5 – (2·7 + 1∙0) = 1. Следовательно, в этом механизме одна степень свободы, что означает необходимость выбрать одно ведущее звено для его нормального функционирования.

6.Пассивные и избыточные связи, лишние степени свободы.

Наряду с движениями и условиями связей, которые в механизме влияют на закон преобразования движения, могут существовать связи и движения, которые не влияют на этот закон. Такие связи называются избыточными, а движения – местными подвижностями, или лишними степенями свободы. Одна избыточная связь уменьшает расчётную подвижность на единицу, а одна местная подвижность увеличивает её на единицу. Для обнаружения избыточных связей можно воспользоваться следующими рассуждениями. Количество фактических условий связей в механизме определяется суммой ,

а количество необходимых условий связей для нормального его функционирования определяется разностью между и количеством W степеней свободы механизма, т. е. . Обозначая количество избыточных связей буквой , получаем следующую расчётную формулу . Или окончательно .

На рис. 1.10 показан механизм шарнирного параллелограмма, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны. Расчёт по приведённой формуле даёт следующий результат. Количество кинематических пар 5-го класса , количество пар 4-го класса , количество подвижных звеньев . Механизм работает при одном ведущем звене, например звене 1. С учётом этих данных получаем: .

То есть в данном механизме имеется одна избыточная связь.

Звенья 2 и 4 выполняют одну и ту же функцию, передавая движение на звено 3, разделяя надвое общий силовой поток, снижая нагрузку, приходящуюся на каждое из них. С точки зрения структуры одно из этих звеньев (например, звено 4) можно считать избыточной связью.

Избыточные связи могут играть и отрицательную роль, когда они ограничивают движение звена в кинематической паре, уже ограниченное связью в другой кинематической паре.

При выполнении структурного анализа механизмов избыточные связи и местные подвижности должны быть исключены.