Действия над событиями.

1. Объединением (суммой) событий А и В называется событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Объединение последовательности событий { } заключается в появлении хотя бы одного из них.

2. Пересечением (произведением) событий А и В называется событие С состоящее в появлении и события А и события В.

Пересечение последовательности событий { } – это событие, состоящее в появлении всех n событий.

Замечание: если Аи В несовместные события то

3. Разностью А и В называется событие состоящее в появлении события А и не появлении события В.

С = А - В = А\В А – В = А

Свойства действий над событиями.

1. Коммутативность

А⋂В = В⋂А А∪В = В∪А

2. Ассоциативность

(А⋂В)⋂С = А⋂(В⋂С) (А∪В)∪С = А∪(В∪С)

3. Дистрибутивность

(А∪В)⋂С = (А⋂С)∪(В⋂С)

4. Принцип двойственности (правила Де Моргана)

= ⋂ =

5. А ∪ = Ω А ⋂ = ∅

6. Объединение полной группы событий представляет собой достоверное

7. Любое событие А можно разложить на сумму несовместных

А = А Ω = А (В + ) = АВ + А

3. Вероятность и её свойства. Аксиомы вероятности.

Вероятность и её свойства.

Любому случайному событию можно подставить в соответствие числовую характеристику, которая определяет степень возможности появления этого события. Она называется вероятностью.

Рассмотрим определения, на основании которых вводится современное понятие вероятности.

- произвольное про-во элементарных событий.

Класс множеств из будем называть замкнутым относительно какой либо операции над мн-ми, если ее осуществление над мн-ми из этого класса приводит к мн-вам из этого же класса.

В общем случае бесконечного пр-ва мы рассматриваем не все подмн-ва, а лишь некоторые замкнутые классы этих подмн-в , называемые алгебрами и σ-алгебрами.

Опр1: назовем класс А подмн-ва пр-ва алгеброй мн-в, если

1. Ø А , А

2. А А => А

3. А А, В А => А ∩ В А , А А , А\В А

Алгеброй называется класс множеств, замкнутый относительно операций ∩ \ любого конечного набора событий.

Опр2: алгебру мн-в А назовем σ-алгеброй, если

σ-алгебра – алгебра, замкнутая относительно ∩ любого счетного набора событий.

Если задано пр-во элементарных событий и σ-алгебра А его подмн-в, то говорят, что задано измеримое пр-во ( , А)

На измеримом пр-ве задается числовая ф-я Р(А), которая называется вероятность или вероятностной мерой и удовлетворяет 3 аксиомам.

Аксиомы вероятности (Колмогорова)

А1. Аксиома неотрицательности: Р(А) 0 А А

каждому событию а соотв. неотрц. число – вероятность этого события

А2. Аксиома нормировки: Р( ) = 1

вероятность достоверного события равна единице

А3. Аксиома аддитивности: Р(А+В) = P(А) + P(В), АВ = Ø

(распространяется и на Nсобытий)

Опр3: вер-ть – неотрицательная, аддитивная, нормированная к 1 мера, заданная на измеримом пр-ве событий, характеризующая степень возможности появления событий

Опр4: ( А, Р) будем называть вероятностным пр-вом, где пр-во элем. событий, А - σ-алгебраподмн-в , называемых событиями, Р – числовая ф-я, определенная на событиях, называемых вер-тью. Вер-ное пр-во определяет вероятностную модель случайного явления.

4. Свойства вероятностей (следствия из аксиом).

1. Вероятность невозможного события: Р(Ø) = 0

2. Р( ) = 1 - Р(А)

3. Если А ⊂ В, то P(А) P(В)

если событие а может произойти только вместе с событием В, то вер-ть события А не может быть больше вер-ти события В.

4. Вероятность любого события принадлежит отрезку [0, 1], т. е. 0 P(А) 1

5. Теорема сложения вер-тей:

Для любых а, bсправедливо P(А В) = P(А) + P(В) – P(АВ)

Док-во:

А = А + В

P(А В) = P(А) + P(В )

В = АВ + А

P(В) = P(АВ) + P(А ), P(А ) = P(В) – P(АВ) => P(А В) = P(А) + P(В) – P(АВ)

6. Теорема сложения вер-тей для n событий:

7. Если В ⊂ А, то P(А-В) = P(А) – P(В)

8. Аксиома непрерывности:

Функция множеств P(А) - непрерывна, если , = , , тогда

5. Классическое определение вероятности

Это определение используется, когда число возможных исходов опыта конечно и любой исход равновозможен.

Пусть состоит из Nравновозможных в данном опыте элементарных событий, т.е. P( ) = p ,

где – элементарное событие, i = . Элементарные события несовместны и образуют

полную группу событий и P( , np = P( ) = 1 => p =

Вероятность любого события А, которому соответствует в пр-ве элементарных событий некоторое подмн-во, содержащее исходов определяется след. образом:

P(A) = P( = , т.е. P(A) =

Опр: вер-ть некоторого события А есть отношение числа исходов благоприятных наступлению события А к общему числу всевозможных исходов n.

Классическое определение удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

А1. P(A) =

А2. P( ) =

А3. А и B несовместны и имеют и благопр. исходов соответственно,

тогда Р(A+B) = = P(A) + P(B)

6. Геометрическое определение вероятности.