Th2. (обобщение Th умножения на n событий).

Пусть задано вер-е пр-во (Ω, A, P) и на нём определены соб-я >0. вероятность пр-я нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вер-ть каждого последующего: события вычисляется при условии что все предыдущие имели место

Р( ) = P( )P( )P( )… P( ) (3)

10. Независимые события, их свойства.

Опр: Пусть имеется вер-е пр-во (Ω, A, P) и на нём определены соб-я A и B, (A∈ Ω, B∈Ω) наз-ся

независимыми статистически, если P(AB) = P(A)P(B) (1)

Свойства независимых событий:

1. Если P(B)>0, то для независимых событий А и В P(A|B) = P(A) (1')

Док-во: P(A|B) = = = P(A);

Замечание: иногда опр-е независ-ти соб-й дают на основе (1'):

Соб-я A и B наз-ся независимыми, если появление одного из них не влияет на появление другого.

2. Если A и B независимы, то независимы и A̅ и В, А и B̅, A̅ и B̅.

Док-во: докажем 1е утверждение: P(A̅B) = P(B-AB) = P(B) – P(AB) = P(B) – P(B)P(A) = P(B)(1-P(A)) = P(B)P(A̅)

Док-во второго утв. аналогично.

Док-во 3го: P(A̅B̅) = P(A̅U̅B̅) = 1 – P(AUB) = 1 – P(A) – P(B) + P(AB)

P(A̅)P(B̅) = (1 – P(A))(1-P(B)) = 1 – P(A) – P(B) + P(AB) => P(A̅B̅) = P(A̅)P(B̅)

3. Пусть A и независимы, А и независимы, причём = тогда A и независимы

4. Два несовм. соб-я всегда зависимы т.к. появление одного исключает появление другого,

если А и В несовм. (АВ = ), P(A)>0, P(B)>0, то P(A|B) = P(B|A) = 0;

Опр: (Независимость событий в совокупности): , , . . называется нез в совокупности если любое из них не зависит от любого числа других в любой комбинации.

Для нез. соб-й правило умножения имеет вид:

P( , , . . ) = P( )P( )…P( );

P( ) =

11. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности

Эта формула явл-ся следствием Th слож и умнож вер-ей.

Th: пусть на вер-ом пр-ве (Ω, A, P) определена полная группа несовместных событий

вероятность P( ), ( ) известны.

Событие А может появиться при появлении одного из событий , причём условные P(A| ) известны тогда

P(A) = P( )P(A| ) (1)

(1) наз-ся формулой полной вер-ти.

Док-во: А = А Ω = А = ;

т.к. несовместные соб-я то А тоже несовместные поэтому используя теорему умнож-я вер-тей имеем

Пример: известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин страдает дальтонизмом.

Какова вероятность того, что случайно выбранный человек окажется дальтоником.

Т.е. какова доля лиц страдающих дальтонизмом во всём населении Земли, если мужчины составляют 48% населения, женщины - 52%.

Реш: В качестве полной группы несовм. событий возьмём событие - выбран муж., - выбрана жен.

Вер-ти P( ) = 0,48% P( ) = 0,52%

Пусть соб-е А заключается в том, что выбранное наугад лицо - дальтоник.

По усл. задачи P(A| ) = 0,05, P(A| ) = 0,0025;

P(A) = P(A| )P( ) + P(A| )P( ) = 0,05*0,48+0,0025*0,52 = 0,0253

Ответ: 2,53%

Формула Байеса.

Th: пусть имеется полная гр несовместных событий , , . . .

Известны вер-ти этих событий P( ).

Известны в-сти P(A| ), ( )

Событие A, P(A)>0 может произойти из событий B(i).

Известны вер-ти P(A| ) , ( ) .

Тогда апостериорная (после опыта) вер-ть P( ) определяется ф-лой:

P( ) = , ( ) (2);

Док-во: по опр-ю P( ) =

на основе фор-лы полной вер-ти и Th умн-я вероятностей получаем P( ) = ,

Формула (2) называется формулой Байеса.

Вер-ти P( ) наз-ся априорными (до опыта), вер-ти P( ) наз-ся апостериорными (после),

соб-я наз-ся гипотезами.

Пример: врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний 1 и 2.

Степень своей уверенности в отношении правильного диагноза оценивает как 40% и 60% соответственно.

Для уточнения диазноза больного отправили на анализ.

Исход анализа даёт полож реакцию при заболевание 1 в 90% случ при заб 2 в 20% случ.

Анализ дал полож. реакц. Как изменится мнение врача?

Реш: А – анализ дал полож. реакц. Гипотезы: - забол1, - забол2.

Априорные вер-ти гипотез P( ) = 0,4 P( ) = 0,6. Условные вер-ти P(A| ) = 0,9 P(A| ) = 0,2.

P ) = = 0,75.

Ответ: P ) = 0,75 врач с бол-ей уверенностью признает заб1.

12. Схема независимых испытаний Бернулли.

Рассмотрим что такое независимость опытов.

Пусть имеются два независимых опыта G₁, G₂ и соответствующие им вероятностные пространства (Ω₁, A₁, P₁), (Ω₂, A₂, P₂). Рассмотрим составной эксперимент G с вероятностным пространством (Ω, A, P), где Ω = Ω₁* Ω₂ – прямое произведение, а σ - алгебра порождена событиями B = B₁ * B₂, где B₁ ∈ A₁, B₂ ∈ A₂.

Прямым произведением Ω = Ω₁* Ω₂ называется множество Ω, элементами которого являются упорядоченные пары элементов пр-в Ω₁ и Ω₂, т.е. если , , то , где – любой эл-т Ω₁ и Ω₂ соответственно.

Опыты G₁ и G₂ независимы, если для всех B = B₁ * B₂ выполняется равенство P(B) = P₁(B₁) P₂(B₂).

Последовательность опытов G₁, G₂, G_n называется независимой, если P(B) = P₁(B₁) * P₂(B₂) * … * P_n(B_n), где B = B₁ * B₂ * … * B_n, B_k ∈ A_k. (Ω_k, A_k, P_k) – вероятностное пространство, соответствующее -му эксперименту.

Рассмотрим n независимых испытаний G_k, k = . Во любом из этих испытаниях событие A может появиться с одной и той же вероятностью P(A)=p и не появиться с вероятностью P ( ) = 1 - p = q. Такая совокупность испытаний называется схемой независимых испытаний Бернулли.

13. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли.

Наступлением события A в испытаниях называют успехом.

Исследуем, как изменится вероятность Pn(m) от числа успехов m.

Рассмотрим отношение

Из него следует:

1. P_n(m + 1) > P_n(m), если (n – m) p > (m + 1) q, т.е. np – q > m

2. P_n(m + 1) < P_n(m), если np – q < m

3. P_n(m + 1) = P_n(m), если np – q = m

Наибольшая вероятность P_n(m₀) = P_n(m₀ + 1) когда m₀ = np * q

Значение m₀ и m₀ + 1 – наивероятнейшее число успехов в схеме независимых испытаний Бернулли.

Если np – q – не целое число, то P_n(m) достигает максимума при [ np – q ] + 1 = m₀, где [ np – q ] – целая часть.

14. Предельные теоремы в схеме независимых испытаний Бернулли.

Из-за сложных вычислений по этой формуле были выведены формулы приближенных значений.

Предельные теоремы определяют поведение вероятности P_n(m) при .

Теорема 1 (Пуассона)

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний стремится , то , причем np = λ, где λ > 0, то вероятность , m = 1, 2 …

Доказательство:

при

,

т. о. , .

Формула (1) является законом распределения Пуассона.

Замечание:

Формулой (1) для приближенных расчётов можно пользоваться при n >> 1, p << 1.

Теорема 2 (Локальная теорема Муавра-Лапласа)

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний стремится , p – фиксировано, 0 < p < 1, тогда таких, что справедливо соотношение

Эта формула описывает закон распределения Гаусса. Эта формула – приближенная, причем наибольшая точность расчёта вероятности обеспечивается при и при фиксированных n и m.

15.Случайные величины. Законы распределения.

Случайной велечиной называется числовая функция заданная на множестве случайных событий.

Обозначается: X,Y… и их знач. x₁,x₂…

Опр: Пусть задано вероятностное пространство ( ) всякая числовая функция X=X( ) определенная на пространстве элементарных событий называется случайной величиной ( С.В.)

	rr	rp	pr	pp
X( )	2	1	1	0

Пример: в моделе 2х кратного подбрасывания монеты с пр-вом

исходов ={ rr,rp,pr,pp}

X( )-число выпавших гербов определяется с помощью таблцы:

Опр: случайной величиной X заданной на вероятностном пространстве ( ) называется измеримая функция X=X( ) отображающая пространство элем. событий множества действительных чисел

Измеримость ф-ии X=X( ) позволяет подмножеству B_x поставить в соответствие множество A в пространстве , А поэтому можно вычислить P(X( )∈B_x)=P(X ∈B_x)=P(A) (1)

Эта формула описывает распределение вероятности попадания случайной величины в B_x.

Случайная величина считается заданной если задана область ее возможных значений и распределение вероятностей (1) (закон распределения вероятностей ).

Возможные значения С.В. образуют множество B.

Примеры С.В.:

1) бросается игральная кость, множество возможных значений B={1,2,3,4,5,6}. Оно счетно и конечно.

2) Работа ЭВМ после ремонта. С.В. T- время наработки до первого отказа, множество возможных значений B теоретически вся правая половина оси Ot и 0 {t ≥ 0} . Этот участок ограничен справа, но граница расплывчата, неопределенна, B – несчетно.

3) Ведется тестирование изделий до появления 1-ого исправного. С.В. Y- число тестов которое будет проведено B={1,2,…,n} - беск. ,счетное.

Из примеров видно, что с.в. бывают двух типов: у одних множество B конечно или счетно, у других это множество занимает какой то участок числовой оси, границы которой могут быть зафиксированными, так и неопределенными, а множество значений несчетно.

Дискретной случайной величиной называется с.в. с конечным или счетным множеством возможных значений.

Непрерывной случайной величиной называется с.в. множество значений которой является непрерывным.

Закон распределения.

Законом распределения с.в. называется ∀ правило( таблица, ф-ия) позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Если с.в. X имеет данный закон распределения, то говорят что она распределена по этому закону.

Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной с.в. Для этого получим ряд распределения дискр. с.в. X в виде таблицы.

x1	x2	…	xn	…
p1	p2	…	pn	…

В верхней строке перечислены в порядке возрастания всевозможные

значения, а в нижней вероятности этих значений, где P_i=P{X=x_i}

Тк события {X=x₁}, {X=x₂},… несовместные и образуют

полную группу, то сумма все вероятностей

стоящих в нижней строке ряда равна 1.

Пример1 Рассматривается работа трех независимо работающих техн. устройств. Вероятность норм. Работы первого=0.2,второго=0.4,треьего=0.5. С.в. X – число работающих т.у. построить ряд распределения с.в. X.

Решение: с.в. X=0,1,2,3

“+” – нормальная работа “-” – отказ

p₁=P{X=0}=P{---}=(1-0.2)(1-0.4)(1-0.5)=0.24

p₂=P{X=1}=P{+--}+P{-+-}+P{--+}=(0.2)(1-0.4)(1-0.5)+(1-0.2)(0.4)(1-.5)+(1-0.2)(1-0.4)(0.5)=0.46

0	1	2	3
0.24	0.46	0.26	0.04

p₃=P{X=2}=P{-++}+P{+-+}+P{++-}=(1-0.2)(0.4)(0.5)+(0.2)(1-0.4)(0.5)+(0.2)(0.4)(1-0.5)=0.26

p₄=P{X=3}=P{+++}=(0.2)(0.4)(0.5)=0.04

(можно построить график по табличке)

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Для его построения надо: для любого возможного значения с.в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс на котором откладывается вероятность данного значения величины. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

16.Функция распределения случайной величины. Её свойства.

Ряд распределения с.в. может быть построен только для дискретной с.в.

Для непрерывной с.в. ряд распределения не может быть построен т.к множество возможных значений такой величины не счётно.

Наиболее общей формой закона распределения для всех с.в. является функция распределения.

Функцией распределения с.в. x называется функция F(x) заданная на всей числовой оси и представляющая собой вероятность того, что с.в. примет значение меньшее чем заданное x. F(x)=P(X<x).

Геометрически ф-я распределения интерпретируется как вероятность того что случайная точка X попадет левее заданной точки x.

Свойства функции распределения:

1. F(x) ≥ 0 следует из определения.

2. F(x) неубывающая функция своего аргументы, те при x₂>x₁ F(x₂) ≥F(x₁)

Док-во: рассмотрим на Ox точки x₁ и x₂, причем x₂>x₁.

Событие C={x<x₂} представим как сумму двух несовместных событий C=A+B,

г де A={x<x₁} B={x₁ ≤X<x₂}

P(C)=P(A)+P(B);P(X<x₂)=P{X<x₁}+P{x₁ ≤X<x₂}

F(x₂)=F(x₁)+ P{x₁ ≤X<x₂}; P{x₁ ≤X<x₂}= F(x₂)-F(x₁),

вероятность не может быть отрицательной ⇒ F(x₂) ≥F(x₁).

3. P{a ≤X<b}= F(b)-F(a)

Док-во: подставим случ.событие в виде {X<b}={X<a}+{ a ≤X<b} по аксиоме аддитивности получим P{X<b}=P{X<a}+ P{a ≤X<b}; P{a ≤X<b}=F(b)-F(a) т.е. вероятность того что с.в. X в результате опыта попадет на [a,b) равна приращению функции распределения на этом участке.

4. F(x) непрерывна слева т.е. F(x)=F(x₀)

Док-во: выберем какую-нибудь возрастающую последовательность x₁<x₂<…<x_n<… сходящуюся к x₀ т.е x_n→x₀. A_n={x_n≤X<x₀} ясно, что A_i<A_j при i>j и пр-е всех событий есть невозможное событие т.е. A_n=∅; по аксиоме непрерывности P(A_n)=P(∅)=0

с другой стороны P(A_n)= {F(x₀)-F(x_n)}=F(x₀)- F(x_n)=F(x₀)-F(x-0)=0; F(x)=F(x₀)

5. F(x)=0 ; F(x)=1

Док-во: рассмотрим следующее событие ∅ ; P(∅)=0

F(x)=0 ; ; ; F(x)=1

6. Функция распределения может иметь не более чем счетное число скачков.

Скачком в т. x₀ называется F(x₀+0)-F(x₀-0)=c₀ ; 0<c₀<∞

7. P{X=x}=F(x+0)-F(x-0)

Для непрерывной с.в. функция распределения которой является непрерывной,

имеем P{X=x}=0 ; F(x+0)-F(x-0)=0

Для дискретной с.в. вероятность P{X=x_i}=P_i где x_i – всевозможные значения с.в. p_i – вероятность принять эти значения и F(x+0)-F(x-0)>0

8.Функция распределения дискретной с.в. меняется скачком на велечину P_i в точках возможных

значений с.в. и остается постоянной вне этих точек.

Т.о. видим что любая функция распределения является неубывающей непрерывной слева и удовлетворяющей условию 0≤F(x) ≤1.

Верно и обратно: любая функция удовлетворяющая перечисленным условиям может рассматриваться как функция распределения некоторой с.в.

17.Функция распределения дискретной случайной величины. Примеры законов распределения дискретной случайной величины.

Зная ряд распределения дискретной с.в. легко построить функцию распределения и обратно

Пример: Ряд распределения с.в. x –число работающих технических устройств имеет вид:

xi	0	1	2	3
pi	0.24	0.46	0.26	0.04

Будем задавать различные значения с.в. X и находить для них функцию распределения F(X)=P(X<x). Значения X разобьем на 5 интервалов:

1) x≤0 ; F(x)=0 т.к. число работающих т.у. не может быть отрицательным

2) 0<x≤1 тогда событие {X<x}={X=0} поэтому F(x)=P{X=0}=0.24

3) 1<x≤2 {X<x}={X=0}+{X=1} и применяя теорему к несовместным событиям получаем F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=1}=0.24+0.46=0.7

4) 2<x≤3 {X<x}={X=0}+{X=1}+{X=2} F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.24+0.46+0.26=0.96

5) x>3 ; F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.24+0.46+0.26+0.04=1

(построить график) функция имеет 4 скачка,которые происходят в точках отвечающим четырем возможным значениям с.в. и по величине равны вероятностям этих значений. Между скачками функция сохраняет постоянное значение.

Функция распределения любой дискретной с.в. есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям с.в. и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(X) равна 1.

В общем виде функция распределения дискретной с.в.

, P_i=P{X=x_i}

Примеры законов распределения дискретной с.в.

0	1
1-p	p

Рассмотрим простейшую функцию распределения д.с.в. которая называется индикатором события. Индикатором события A называется случайной величины I=1, если в результате опыта A произошло и I=0, если A не произошло и I:

эта функция распределения имеет два скачка в точке 0 - 1-p, а в точке 1 – p.

1 8. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.

Пусть дискретная случайная величина Х имеет очень много возможных значений, расположенных близко друг к другу на числовой оси.

Построим ф-ю распределения F(x)

По мере увеличения числа значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится все больше, а сами скачки все меньше. Ступенчатая линия ф-ии распределения приближается к плавной непрерывной. Идеальным является случай когда F(x) непрерывна.

Опр1: случайная величина Х называется непрерывной если ф-я распределения не только непрерывна в точке, но и диф-ма всюду, кроме тех точек где она терпит излом.

Т.к. для таких с.в. ф-я F(x) нигде не имеет скачков то вероятность любого отдельного значения с.в. равна 0. P{X= =0 для всех . (1)

Для непрерывной с.в. бесполезно говорить о распределении вероятностей мн-ву её значений. Для н.с.в. имеет смысл плотность распределения или плотность вероятности.

Опр2: плотностью распределения непрерывных с.в. Х в точке x н-ся производная её ф-ии распределения в этой точке. (диф-й з-н распределения).

f(x) существует только для непрерывной с.в.

График плотности распределения н-ся кривой распределения.

Рассмотрим непрерывную с.в. Х с плотностью f(x) и некоторый элементарный участок dx примыкающий к т. x.

Вероятность попадания с.в. на участок dx равна f(x), эта величина н-ся элементом вероятности для т. x.

Геометрически эл-т вероятности приближенно равен площади элементарного прямоугольника, опирающегося на dx.

Очевидно, что вероятность попадания с.в. X на отр. (a,b) равна сумме эл-ов вер. На всем этом уч-ке т.е. P{a<X<b}= (3)

Ф-ла (3) есть вероятность которая равна площади ограниченной своей кривой распределения и опирающаяся на участок (a,b).

Формула (3) дает возможность выразить ф-ия распределения через плотность распределения.

F (x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)= (4) (интегральный закон распределения)

В геометрической интерпретации ф-я

распределения равна площади ограниченной

сверху кривой распределения лежащей

левее т. x.