Теорема умножения плотностей.
Рассмотрим систему 2х зависимых непрерывных с.в. (X,Y) можно док-ть что их совместная плотность равна произведению плотностей одной из них на усл. плотность другой при задании значении первой:
(5)
или
(6)
где
это усл. плотность с.в y
при усл. что X=x
и
аналогично.
Из формул (5) и (6) вытекают формулы выражающие условные плотности распр-я:
(7)
т.е. чтобы получить усл. плотность распр-я одной из с.в. входящих в систему надо разделить совместную плотность на плотность другой с.в.
Ранее пол-ые ф-лы (1)-(7) можно обощить на n-мерный случай:
Для
д.с.в. имеем:
(8)
Для
н.с.в. усл. плотность выч-ся по формуле:
(9)
Т.е.
условной пл-ю распр-я
системы
наз-ся плотность распр-я этой подсистемы
при усл. что остальные эл-ты системы
приняли опр-ые знач-я:
.
27. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции.
В качестве числовых характеристик с.в. (X,Y) обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.
Начальным
моментом порядка k+s
системы с.в. (X,Y)
называется мат. ожиданием пр-я
,
.
= M[
]
(1).
Центральным
моментом порядка k+s
системы случайных величин (x,y)
называется мат. ожидание пр-я
на
= M[
]
(2).
Для системы д.с.в. получим:
=
(3).
=
(4) , где
= P{x =
; y =
}.
Для системы н.с.в.:
=
f(x,y) dx dy (5).
(6).
Порядком
начального или центрального момента
называется
его
индексов k + s.
= M[
,
]
= M[x] =
;
= M[
,
]
= M[y] =
;
(7).
Центральные моменты первого порядка равны 0.
=0,
=0.
Центральные моменты второго порядка:
= M[
]
= M[
]
=
;
= M[
]
= M[
]
=
;
= M[
]
=
(9) ; .
первые 2 момента представляют дисперсию, а последний называется ковариацией или корреляционным моментом и обозначается или cov(X,Y).
= M[
]
= M [
]
= cov(X,Y) (10)
По определению
ковариации
=
(11)
Дисперсию можно рассматривать как частный случай ковариации.
= M[
]
= M[
]
=
;
= M[
]
= M[
]
=
(12).
т.е. дисперсия с.в есть ковариация с самой собой.
Для н.с.в ковариация равна 0.
Док-во:
по определению (10)
для н.с.в.
доказано что
т.о.
=
(x) dx
(y) dy.
Каждый из
интервалов пред-ет собой первый
центральный момент которые равны нулю.
=
= 0;
Ковариацию удобно выразить в следующем виде: = M[Х У] – M[Х]M[У] (13).
Размерность
ковариации равна произведению размерностей
с.в X и Y.
Чтобы получить безразмерную величину,
характеризующую зависимость м-у с.в.
ковариацию делят на
.
=
(14) – коэффициент корреляции.
Этот
коэффициент характеризует степень
линейной зависимости этих величин.
Зависимость такова, что при возрастании
одного другая проявляет тенденцию так
же возрастать (
)
или убывать (
).
И говорят, что с.в связаны положительной
корреляцией (1 случай) отрицательной
корреляцией (2 случай).
Если
ковариация 2х с.в равна 0
,
то с.в. называются некоррелированными.
Если
Из независимости с.в следует их
некоррелированность. Но обратное не
верно.
Свойства коэффициента корреляции:
1. ρ(x,x)
=
= 1
2. Пусть
=
+
=
+
,
где
≠ 0, тогда
ρ(
)
=
= ±p(
)
(“+” если
одного знака, “-” иначе).
3. Если X и Y независимы и ∃ D[x] > 0 и D[y] > 0, то ρ (x,y) = 0.
4. -1< ρ(x,y)<1.
5. ρ(x,y) = ±1 тогда и только тогда, когда с.в. Х и У зависимы.
Для вычисления сov д.с.в. используют формулу: cov(x,y) =
для н.с.в.:
cov(x,y)
=
.
28. Ковариационная и корреляционная матрицы, их свойства.
В большинстве инженерных приложений вместо законов распределения полной исчерпывающей характеристики с.в рассматривается её важнейшие числовые характеристики:
1. n
мат. ожиданий :
= M[
];
= M[
];
…
= M[
];
для
векторной с.в: M[
]
= (
).
2. N
дисперсий:
[
],
[
],
…
[
],
для
векторной с.в.: D[
]
= (
).
3. n(n-1)
ковариаций:
= M[
]
( i
≠ j
).
D[
]
= M[
]
= M[
]
=
.
Ковариация вместе с дисперсиями образует матрицу ковариаций
т.е таблицу состоящую из n строк и n столбцов.
||
||=
(1)