Дисперсия с.В.

Опр1 Дисперсией D[X] с.в. X называется мат. ожидание квадрата отклонения с.в. относительно её мат. ожидания D[X]= =M[(X-M[X] ] (1)

Для определения дисперсии можно использовать формулу D[X]=M[ ]- [X] (2)

Вывод ф-лы (2):

Опр2: Дисперсия равна разности между м.о. квадрата с.в. X и квадрата её м.о. (формула (2))

Дисперсия рассчитывается по формулам: D[X]

Дисперсия имеет размерность квадрата с.в., это не удобно, поэтому используется величина называемая средне-квадратическим отклонением (с.к.о.) или стандартным отклонением с.в. и обозначается σ =σ[X]= =+

Отклонением называют разность между с.в. и её мат. ожиданием (c кружочком вверху) ;

Стандартизированной с.в. называется с.в. X если =0,

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия не с.в. равна 0.

Док-во: D[C]=M[(C-M[C] ]=M[0]=0

2. D[X]≥0

Док-во: D[X]=M[(X- ]≥0

3. Константу можно выносить за знак дисперсии, возводя её в квадрат D[XC]=

Док-во: D[CX]=M[(CX-M[CX] ]=M[ (X-M[X] ]= [(X-M[X] ]= D[X]

4. Дисперсия обладает аддитивностью: D[X+Y]=D[X]+D[Y]

Док-во: D[X+Y]=M[(X+Y ]- [X+Y]=M[ + M[ +2M[X]M[Y]- [X]-2M[X]M[Y]- [Y]= M[ - [X]+ M[ - [Y]= D[X]+D[Y]

21. Моменты случайных величин. Квантиль распределения.

Моменты с.В.

Начальным моментом к-ого порядка распределения с.в. Х (если он ∃) называется действительное число определённое по формуле: где

Центральным моментом к-ого порядка распределения с.в. Х (если он ∃) называется число определённое по формуле: :

Очевидно что для ∀ с.в. центральный момент 1-ого порядка равен 0: .

Между центральным и начальным моментами существует связь. Выведем ф-лы для д.с.в. (для н.с.в. аналогично при замене на х, на )

пользуясь ф-лой куба разности найдём :

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Он имеет размерность . Чтобы получить безразмерную характеристику делят на куб средне-квадратичного отклонения. ( ).

Слева третий ц.м.

справа - четвёртый

Четвёртый центральный момент служит для характеристики островершинности/плосковершинности графика распределения. Применяется для н.с.в. Характеризуется с помощью коэффициента эксцесса. ( ).

(-3 т.к. для нормального распределения и )

Квантиль распределения.

Квантилью уровня р ф-ии распределения с.в. называется минимальное значение при котором ф-я распределения F(x) не меньше значения р где р∈(0,1) т.е.

на рисунке указаны квантили

уровней α, β, γ некоторой ф-ии

распределения F(x)

Если ф-я распределения строго монотонная и непрерывная то квантиль является единственным решением уравнения F( )=p

Квантиль уровня р= называется медианой. Квантили уровня р= и р= называются квартилями.

Квантили уровня р=0,1 р=0,2 р=0,3 - децили. По децилям можно составить представление о виде ф-ии распределения.

Если плотность распределения существует, симметрична относительно оси Оу и положительна на оси Ох то

Для д.с.в. квантиль распределения определяется не однозначно. В качестве квантиля берётся значение для которого F( )<p и F( )>p

22. Многомерные (векторные) случайные величины. Функция распределения и её основные свойства.