Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства, вычисление, примеры.

Пусть поверхность  задана явно z(x,y), где (x,y)D. Функция z(x,y) – дифференцируема, – непрерывны в области D  в каждой точке  касательная плоскость. Такая поверхность назыв. гладкой (нет пик и рёбер). Если поверхность разбив. на конечное число гладких поверхностей, то такая поверхность – кусочно-гладкая. Пусть f(x,y,z) определена в каждой точке поверхности.

Определение поверхн. интеграла. Разобьём поверхность на конечное число частей, причём так, что: , а – имеет нулевую площадь. Введём понятие диаметра поверхности: d_k – наибольшее расстояние между точками поверхности _k. Тогда – мелкость разбиения. Выбираем произвольные точки (x_k,y_k,z_k)_k. Составим сумму: – интегральная сумма. Если существует предел интегральных сумм и он не зависит не от разбиения, не от точек (x_k,y_k,z_k), то он назыв. поверхностным интегралом по поверхности  от функции f(x,y,z). Аналогичное определение если пов-ть задана y=y(x,z) и.т.д

Свойства поверхн. интеграла.

1)

2)

3)Если =₁₂, ₁₂ – имеет нулевую площадь, то:

4)

5)Если f(x,y,z)≤g(x,y,z) (x,y,z) на поверхности, то:

6)

7)Теорема о среднем: Если f(x,y,z) – непр. , где (x₀,y₀,z₀).

Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода. – площадь поверхности заданной явно z=z(x,y).

– элемент площади, тогда:

D – проекция поверхности на XoY. Если пов-ть задана y=y(x,z), то: D – проекция на XoZ.

Если пов-ть задана x=x(y,z), то: D – проекция на YoZ.

Примеры. 1)Вычислить , где  – часть сферы, леж. в 1-ом октанте.

Решение.

Выразим пов-ть явно: Найдём дифференциал поверхности: 2)Вычислить: , где  – часть цилиндрической поверхности , отсечённой плоскостями z=0, z=2.

Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, свойства, вычисление, примеры.

Пусть поверхность задана явно z=z(x,y). Причём поверхность гладкая z – непр., – непр. Рассмотрим двухсторонние поверхности. Введём понятие ориентации поверхности. Будем выделять внешнюю и внутреннюю поверхности.

Назовём внешней стороной поверхности такую, нормаль к которой составляет с осью Oz острый угол. Внутренняя сторона поверхности – такая, что нормаль к ней составляет тупой угол.

Определение поверх. интеграла 2-го рода. Пусть f(x,y,z) – задана на поверхности , z=z(x,y) – уравнение поверхности. (x,y)D, D – проекция поверхности на XoY. Рассм. разбиение области D на конечное число частей: , – нулевая площадь. В каждой области D_k выделим произвольную точку (x_k,y_k). – интегральная сумма. Введём диаметр области d_k равный максимальному расстоянию между точками в области D_i. Введём понятие мелкости разбиения . Если  предел интегральных сумм и он не зависит не от разбиения, не от точек x_k,y_k, то этот назыв. поверхностным интегралом 2-го рода по поверхности  от ф-ции f(x,y,z). Предел положителен, если поверхность внешняя и отрицательный, если поверхность внутренняя.

Свойства.

1)Зависимость от ориентации поверхности. Меняем ориентацию → меняем знак.

2)Константа выносится за знак интеграла.

3)Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

4)аддитивность по поверхности.

Вычисление.

D – проекция  на XoY. (+) – если пов-ть внешняя, (-) – если пов-ть внутренняя.

Примеры. Вычислить , где  – верхняя часть плоскости 2x-3y+z=6, заключённой во IV-м октанте.

1)

2)

3)

I= -6 -18+15= -9