Непрерывность несобственных интегралов, зависящих от параметра. Предельный переход под знаком такого интеграла.

Теорема1. О непрерывности НИЗП. Пусть f(x,y) непрерывна в области D: [a,+∞)[c,d] и – сходится равномерно на [c,d]. Тогда непрерывна на [c,d].

Док-во: Покажем, что . Зафиксируем ε>0. Для из определения равномерной сходимости   M(ε)>0 b>M(ε)  . Введём функцию – она непрерывна, т.к ф-я f(x,y) непрерывна на D  для   >0  |y|<  Итак ε>0 >0  |y|<  |F|<ε

Теорема2. Предельный переход под знаком НИЗП. Пусть f(x,y) непр. в области D=[a,+∞)[c,d], – сходится равномерно на [c,d]. Тогда y₀[c,d]:

Док-во:

Интегрирование и дифференцирование по параметру низп.

Теорема1. Интегрируемость НИЗП. Пусть f(x,y) – непр. в области D=[a,+∞)[c,d]. – сходится равномерно, тогда – интегрируема на [c,d], причём

Док-во: F(y) – непрерывна по теореме о непрерывности.  F(y) интегрируема на [c,d]: . Покажем, что . Зафиксируем ε>0. По условию – сходится равномерно. Тогда для для сколь угодно большого b. 

Теорема2. Дифференцирование НИЗП(правило Лейбница). Пусть f(x,y), – непрерывны в D, – сходится, – сходится равномерно. Тогда

Док-во: – сходится равномерно на [c,d]  сходится равномерно на [c,t] t[c,d]. По теореме об интегрируемости Дифференцируем это равенство по переменной t: (в левой части интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной(по теореме о непрерывности) функции).

Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Признак Дирихле: – исследуем на сходимость. Пусть:

1) – равномерно ограничена на некотором отрезке [c,d],

2) g’(x) – непрерывна и знакопостоянна на [a,+∞],

3) ,

Тогда – сходится на Y. Признак Абеля: – исследуем на сходимость. Пусть:

1) – сходится,

2) – непрерывна и знакопостоянна на [a,+∞],

3)g(x,y) равномерно ограничена на Y:

Тогда – сходится равномерно на Y.

Применение теории низп к вычислению интегралов без параметра.

Вычислим интеграл . Введём интеграл с параметром: при a=0 получаем исходный интеграл. Воспользуемся правилом Лейбница: 1) – сходится (по признаку Абеля)

2) – непр. при x>0, a≥0 – непрерывна при x>0, a≥0.

3)

Гамма-функция Эйлера и её свойства.

Св-ва:

1)ООФ: S – лежит в области определения функции, если при этом значении параметра несобственный интеграл сходится. Особые точки x=0, x=+∞. Разобьём на два интеграла. Каждый из них имеет одну особую точку.

а)Рассмотрим 1-й интеграл: . При 0≤x≤1 

По признаку сравнения ведёт себя также как и – сходится при S>0.

б)Рассмотрим 2-й интеграл: Т.к при x → +∞ e^-x растёт медленнее, чем x^S-1 с основанием x>1, тогда: , тогда по признаку сравнения – сходится при SR. Сумма двух интегралов сходится тогда, когда сходится и 1-й интеграл  исходный интеграл сходится при S>0, т.е область определения S>0.

2)Докажем, что Г(S) сходится равномерно на любом отрезке [S₁,S₂] где S₁>0. а)Рассмотрим . 0<x<1, S₁<x<S₂. б)Рассмотрим

3)Г(S) – непрерывна на (0,+∞). Пусть S₀ – произвольная точка S₀(0,+∞)  [S₁,S₂] и 0<S₁<S₂. По свойству 2: Г(S) равномерно сходится на [S₁,S₂]  Г(S) непрерывна на [S₁,S₂]  Г(S) непр. в т. S₀. Т.к точка S₀ – произвольная, то  Г(S) непр. на всей области определения.

4)Г(S)>0 S>0.

5)Г(S+1)=S Г(S) – основное св-во гамма-функции. Док-во:

6)Г(n+1)=n! Г(S) можно считать продолжением функции n! заданной только для целых неотрицательных чисел на множестве всех положительных чисел. Значение Г(S) в любой точке S>0 можно выразить через некоторое значение Г(S) на интервале (0,1]

7)Пусть SN, обозначим n=[S] – целая часть числа. Тогда: Г(S) = (S-1)Г(S-1) = (S-1)(S-2)Г(S-2)=…= =(S‑1)(S‑2)…(S‑n)Г(S‑n), где (S-n)(0,1).

8)Дифференцируемость Г(S).

9)График Г(S), S>0.

10)

11)Значения Г(S) в полуцелых числах

12)Формула дополнения:

13)Асимптотическая формула: , где (x)→0 при x → +∞. – формула Стирлинга.