Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля. Физический смысл теоремы Остроградского – Гаусса.
Определение
потока вектора через поверхность.
Рассмотрим
частный случай, когда
– поле скоростей стац. потока жидкости
П. Потоком жидкости через поверхность
назыв. кол-во жидкости, протекающее
через поверхность
за единицу времени. Рассмотрим простейший
слечай, когда скорость
– постоянна и поверхность
– плоская, тогда кол-во жидкости за
единицу времени, при этом поток жидкости
равен объёму цилиндра с основанием S
и образующей
:
В
общем случае считаем, что скорость
меняется непрерывно и поверхность
– гладкая, т.е имеет в каждой точке
непрерывно меняющуюся кас. плоскость.
Разобьём поверхность на столь малые
части, что каждые из этих частей можно
считать плоской, а скорость на ней
постоянной. Т.к поток жидкости через
поверхность равен сумме потоков через
все её части, то:
,
если диаметр частей d→0,
то:
Свойства
потока:
1)Линейность:
2)Аддитивность по
поверхности.
3)Зависимость от ориентации. Если меняется ориентации поверхности, то вектор нормали меняется на противоположный поток меняет знак.
Вычисление
потока.
1)В
декартовой С/К:
2)Проектирование
на одну из коорд. плоскостей. Если
поверхность однозначно проектируется
на одну из координатных плоскостей,
например на XoY
и её можно задать явно уравнением
z=z(x,y),
где z(x,y)
– непрерывна и имеет частные производные
в области .
Поток
вектора через замкнутую поверхность.
Физический смысл потока через поверхность. Рассмотрим векторное поле скоростей стац. потока жидкости. Если поток через нек. замкнутую поверхность S положителен, значит внутри области, образованной этой поверхностью выходит больше жидкости, чем в неё входит. В этом случае говорят, что в этой области есть источник, образующий жидкость. Если поток отрицательный, то из области выходит меньше жидкости, чем в неё входит. В этом случае имеются стоки. Поток вектора через замкнутую поверхность говорит о наличии источников или стоков в области, ограниченной этой поверхностью и об их производительности, т.к поток – это кол-во жидкости, прох. за единицу времени.
Дивергенция
векторного поля.
Это
ещё одна числовая характеристика, кот.
описывает поведение векторного поля в
каждой точке этого поля. Пусть в некоторой
области
задано некоторое поле. Возьмём произвольную
точку M
из этой области. Окружим точку M
произвольной замкнутой поверхностью
S,
леж. в области ,
например S
– сфера малого радиуса с центром в точке
M,
тогда:
– производительность единицы объёма
– средняя плотность потока.
Определение
дивергенции.
Если
предел этого отношения если область V
стремится в точку M,
то этот предел назыв. дивергенцией
векторного поля в точке M.
Физический
смысл – плотность потока в точке M.
Вычисления дивергенции.
Физический смысл теоремы Остроградского-Гаусса.
Поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, о дивергенции этой области.
Свойства дивергенции:
1)
2)
3)
