Признаки сравнения несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Признаки сравнения нужны для того, чтобы, не вычисляя интеграл, узнать сходится он или расходится.

1-й признак сравнения)

Пусть заданы 0≤g(x)≤f(x) при a≤x≤b, тогда 1)если –сходится, то также сходится, 2)если – расходится, то также расходится.

Док-во: 1)По условию – сходится, а это возможно  ограничена на [a,b), т.е  MR такое, что . Рассмотрим . Т.к g(t)≤f(t), то:   x[a,b)  по крит. сходимости – сходится.

2)Предположим, что – сходится, тогда по пункту 1 – также сходится, что противоречит условию 2-го пункта  предположение не верно и интеграл расходится.

Замечание. При использовании признаков сравнения сравниваем обычно с . 1-й признак сравнения приближённый, не точный.

2-й признак сравнения) Пусть  f(x)≥0, g(x)≥0. Требуется сравнить интегралы и , где b – особая точка. Если , тогда и ведут себя одинаково.

Док-во. (Сводится 1 –му признаку сравнения). Пусть , тогда  .

1)Если сходится и , то по 1-му признаку сравнения  тоже сходится.

2)Если –сходится и  также сходится по 1-му признаку сравнения.

Замечание. Если K=1, то функции эквивалентны.

Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Пример условно сходящегося несобственного интеграла.

Пусть подинтегралаьная функция произвольного знака. , где b – особая точка.

Определение. – сходится абсолютно, если сходится

Пример.

Теорема. Если – сходится абсолютно, то – сходится.

Док-во. (По критерию Коши). Зафиксируем ε>0. Т.к – сходится, то по крит. Коши: ε>0 >0 b₁(b-,b) b₂(b-,b) и т.е ф-я неотрицательная, то  По св-ву определённого интеграла: , тогда ε>0 >0 b₁(b-,b) b₂(b-,b)  Обратное не верно.

Пример. Докаж., что интеграл не сх-ся абсолютно:  интеграл не сходится абсолютно.

Определение. Интеграл сходится условно, если он сходится, а – расходится. Пример. Вышеописанный .

Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.

Признак Дирихле. Исследуем сходимость интеграла , где b – особая точка. Пусть:

1) – ограничена на [a,b],

2) g’(x) – непрерывная на [a,b),

3)g’(x) знакопостоянна,

4) , Тогда – сходится.

Док-во. (по критерию Коши). Зафиксируем ε>0. По условию  MR: |F(x)|≤M x[a,b). По определению предела: для >0 x(b-,b)  . Рассмотрим Итак для ε>0 >0 x(b-,b)    интеграл сходится по критерию Коши.

Признак Абеля. Рассмотрим сходимость , где b – особая точка. Пусть:

1) – сходится,

2) g’(x) – непр. на [a,b),

3)g’(x) знакопостоянна.

4)g(x) ограничена на [a,b),

Тогда – сходится.

Док-во: (по критерию Коши сходимости несобств. инт.) Зафиксируем ε>0. Тогда по условию  MR такое, что |g(x)|≤M. – сходится  по крит. Коши, когда  >0 >0 b₁(b-,b), b₂(b-,b)  . Распишем интеграл произведения:

Несобственные двойные и тройные интегралы. Примеры. Вычисление интеграла Пуассона.

Несобственный двойной интеграл.

НДИ 1-го рода. Рассмотрим двойной интеграл по области D: . Несобственным интегралом 1-го рода назыв. интеграл по неограниченной области D при f(x,y) – ограниченной. Пусть  ограниченная BD и  , тогда Пример. , где D – 1-я четверть. Пусть B_R – четверть круга . Тогда: Вычисление интеграла Пуассона.

Признаки сравнения для двойных интегралов 1-го рода. . Если P>0, то – сходится. Если , то – расходится. НДИ 2-го рода. Это НДИ от такой функции, у кот. и область D – ограничена. Пример. , где

Признаки сравнения для НДИ 2-го рода. Если , то – сходится. Если , то интеграл расходится.

Несобственные тройные интегралы.

НТИ 1-го рода) Пусть V – неограниченная область, f(x,y,z) – ограниченная функция, тогда НТИ 2-го рода) Это тройной интеграл от функции у которой , по ограниченной области V.