§ 10. Ранг матрицы

Если дана некоторая система л-мерных векторов, то возникает естественный вопрос, является ли эта система векторов линейно зависимой или нет. Нельзя рассчитывать на то, что в каждом кон­кретном случае решение этого вопроса будет получено без затруд­нений: при поверхностном рассмотрении системы векторов

а = (2,-5, 1, -1), Р = (1, 3, 6, 5), Y = (~l, 4, 1, 2)

трудно заметить в ней какие-либо линейные зависимости, хотя в дей­ствительности эти векторы связаны соотношением

7а—Зр + 11 у = 0

Один метод для решения этого вопроса дает § 1; так как ком­поненты заданных векторов нам известны, то, считая неизвестными

РАНГ МАТРИЦЫ

коэффициенты искомой линейной зависимости, мы получаем систему линейных однородных уравнений, которую и решаем методом Гаусса. В настоящем параграфе будет указан другой подход к рассматри­ваемому вопросу; одновременно мы значительно приблизимся к на­шей основной цели — решению произвольных систем линейных урав­нений.

Пусть дана матрица

^аи ^ai2 ••• ^а1п ^а21 ^а22 ••• ^а2п

содержащая s строк и п столбцов, причем числа s и п никак не связаны между собой. Столбцы этой матрицы, рассматриваемые как s-мерные векторы, могут, вообще говоря, быть линейно зависимыми. Ранг системы столбцов, т. е. максимальное число линейно незави­симых столбцов матрицы А (точнее, число столбцов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов), называется рангом этой матрицы.

Понятно, что подобным же образом строки матрицы А можно рассматривать как /z-мерные векторы. Оказывается, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов, т. е. равен рангу этой матрицы. Доказательство этого весьма неожиданного утвер­ждения будет получено после того, как мы укажем еще одну форму определения ранга матрицы, дающую заодно способ его практического вычисления.

Обобщим сначала на случай прямоугольных матриц понятие ми­нора. Выбираем в матрице А произвольные k строк и k столбцов, Au^min(s, п). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столб­цов, составляют квадратную матрицу k-vo порядка, определитель которой называется манором k-го порядка матрицы А. Дальше нас будут интересовать порядки тех миноров матрицы А, которые отличны от нуля, а именно наивысший среди этих поряд­ков. При его разыскании полезно учитывать следующее замечание: если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. В самом деле, раз­лагая всякий минор порядка min (s, л), на осно­вании теоремы Лапласа, по любым k строкам, мы представим этот минор в виде суммы миноров порядка k, умноженных на некоторые миноры порядка j, и этим докажем, что он равен нулю.

Докажем теперь следующую т е о р е м у о ранге матрицы:

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен г. Предположим,— что не нарушает

71

а

sit

общности доказательства,— что минор л-го порядка D, стоящий в левом верхнем углу матрицы

А —

	«И	... а1г			а1,Г + 1			аШ
		D ....
	ап	... агг			аг, г + 1			агп
аг +1,			1 ••• аг +1,			г аг+1, /■ +1		•• аг + 1,	п
[ asl			... dgr				as, г + 1	•• asn	.

отличен от нуля, ИфО. Тогда первые г столбцов матрицы А будут между собой линейно независимыми: если бы между ними суще­ствовала линейная зависимость, то, так как при сложении векторов складываются соответствующие компоненты, между столбцами ми­нора D существовала бы эта же линейная зависимость и поэтому минор D был бы равен нулю.

Докажем теперь, что всякий /-й столбец матрицы А, г<С1^п, будет линейной комбинацией первых г столбцов. Берем любое i,

0. ^ г s, и строим вспомогательный определитель (г+1)-го порядка

	Й11 •	аи	аи
А/—
	ап •	агг	ап
	аи •	air	аи

получающийся «окаймлением» минора D соответствующими элемен­тами I-то столбца и /-й строки. При любом i определитель А,- равен нулю. Действительно, если <>/■, то A_f будет минором (r-fl)-ro порядка нашей матрицы А и поэтому равен нулю ввиду выбора числа г. Если же i^r, то А,- уже не будет минором матрицы А, так как не может быть получен вычеркиванием из этой матрицы некоторых ее строк и столбцов; однако определитель A_f будет содер­жать теперь две равные строки и, следовательно, снова равен нулю.

Рассмотрим алгебраические дополнения элементов последней стро­ки определителя А,-. Алгебраическим дополнением для элемента а₍-

служит, очевидно, минор D. дополнением для элемента

^аН

*i, 1-1 “1, /+1

А; = {— 1)⁽'⁺¹>⁺''

^ar,]~\ ^ar, 1+1

оно не зависит от i и поэтому обозначено через Aj. Таким образом, разлагая определитель А,- по его последней строке и приравнивая это разложение нулю, так как А₍=0, мы получим:

Если же 1 /Сг, то в А,- будет число

алгебраическим

11

^aa^Ai~

■ а

(2

А-г + + ^air^Ar -\-^ацО — О»

откуда, ввиду БФ 0,

А1 А% А_г

^аИ⁼ £Г ^ail J) ^aii ' • ■ • ^air■

Это равенство справедливо при всех i, i— 1,2, а так как

его коэффициенты от i не зависят, то_г мы получаем, что весь /-й столбец матрицы А будет суммой ее первых г столбцов, взятых,

А А А

соответственно, с коэффициентами —..., — -jj.

Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли мак­симальную линейно независимую подсистему, состоящую из г столб­цов. Этим доказано, что ранг матрицы А равен г, т. е. доказана теорема о ранге.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линей­ной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независи­мых векторов нашей системы.

Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге, требует вычисления хотя и конечного, но, быть может, очень боль­шого числа миноров этой матрицы. Следующее замечание позволяет, однако, внести в этот метод значительные упрощения. Если чита­тель просмотрит еще раз доказательство теоремы о ранге, то за­метит, что мы не использовали при его проведении равенства нулю всех миноров (r-f-l)-ro порядка матрицы А—в действительности употреблялись лишь те миноры (г+1)"^го порядка, которые окай­мляют данный не равный нулю минор r-го порядка D (т. е. содер­жат его целиком внутри себя), и поэтому из равенства нулю лишь эгих миноров вытекает, что г есть максимальное число линейно не­зависимых столбцов матрицы А; последнее же влечет за собой ра­венство нулю вообще всех миноров (г+1)-го порядка этой матрицы. Мы приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то тре­буют вычисления лишь миноры (к-\-\)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры.

0. Найти ранг матрицы

— 4	3	1	0>
—2	1	—4	2
1	— 1	3	1
—7	4	—4	5

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен нулю. Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры вто­рого порядка, например

. -4 3

-2 1

Минор третьего порядка

d' =

окаймляющий минор d, отличен от нуля, d'= 1, однако оба минора четвер­того порядка, окаймляющие минор d', равны нулю:

2	—4	3	1		2	—4	3	0
1	—2	1	—4	== 0,	1	—2	1	2
0	1	—1	3		0	1	—1	1
4	—7	4	—4		4	—7	4	5

= 0.

Таким образом, ранг матрицы А равен трем.

2. Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов

а_{1 =} (2, -2, -4), а₂ = (1, 9, 3), а₃ = (-2, -4, 1), а₄=(3, 7, -1).

Составляем матрицу

2 1 —2

0. 9 —4 -4 3 1

для которой данные векторы служат столбцами. Ранг этой матрицы равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что векторы а*, а₂ составляют в заданной системе одну из макси­мальных линейно независимых подсистем.

В качестве следствия из теоремы о ранге матрицы докажем утверждение, уже высказанное ранее:

Максимальное число линейно независимых строк всякой мат­рицы равно максимальному числу ее линейно независимых столб­цов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Для доказательства транспонируем матрицу, т. е. сделаем ее стро­ки столбцами, сохраняя их нумерацию. При транспонировании макси­мальный порядок отличных от нуля миноров матрицы не может измениться, так как транспонирование не меняет определителя, а для всякого минора исходной матрицы минор, полученный из него транспонированием, содержится в новой матрице, и обратно. Отсюда следует, что ранг новой матрицы равен рангу исходной матрицы; он равен, вместе с тем, максимальному числу линейно независимых столбцов новой матрицы, т. е. максимальному числу линейно неза­висимых строк исходной матрицы.

7*0.

3

1

-1

откуда, ввиду БФ 0,

А1 А% А_г

^аИ⁼ £Г ^ail J) ^aii ' • ■ • ^air■

Это равенство справедливо при всех i, i— 1,2, а так как

его коэффициенты от i не зависят, то_г мы получаем, что весь /-й столбец матрицы А будет суммой ее первых г столбцов, взятых,

А А А

соответственно, с коэффициентами —..., — -jj.

Таким образом, в системе столбцов матрицы А мы нашли мак­симальную линейно независимую подсистему, состоящую из г столб­цов. Этим доказано, что ранг матрицы А равен г, т. е. доказана теорема о ранге.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линей­ной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независи­мых векторов нашей системы.

Метод нахождения ранга матрицы, основанный на теореме о ранге, требует вычисления хотя и конечного, но, быть может, очень боль­шого числа миноров этой матрицы. Следующее замечание позволяет, однако, внести в этот метод значительные упрощения. Если чита­тель просмотрит еще раз доказательство теоремы о ранге, то за­метит, что мы не использовали при его проведении равенства нулю всех миноров (r-f-l)-ro порядка матрицы А—в действительности употреблялись лишь те миноры (г+1)"^го порядка, которые окай­мляют данный не равный нулю минор r-го порядка D (т. е. содер­жат его целиком внутри себя), и поэтому из равенства нулю лишь эгих миноров вытекает, что г есть максимальное число линейно не­зависимых столбцов матрицы А; последнее же влечет за собой ра­венство нулю вообще всех миноров (г+1)-го порядка этой матрицы. Мы приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы:

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то тре­буют вычисления лишь миноры (к-\-\)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Примеры.

0. Найти ранг матрицы

— 4	3	1	0>
—2	1	—4	2
1	— 1	3	1
—7	4	—4	5

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен нулю. Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры вто­рого порядка, например

. -4 3

-2 1

Минор третьего порядка

d' =

окаймляющий минор d, отличен от нуля, d'= 1, однако оба минора четвер­того порядка, окаймляющие минор d', равны нулю:

2	—4	3	1		2	—4	3	0
1	—2	1	—4	== 0,	1	—2	1	2
0	1	—1	3		0	1	—1	1
4	—7	4	—4		4	—7	4	5

= 0.

Таким образом, ранг матрицы А равен трем.

2. Найти максимальную линейно независимую подсистему в системе векторов

а_{1 =} (2, -2, -4), а₂ = (1, 9, 3), а₃ = (-2, -4, 1), а₄=(3, 7, -1).

Составляем матрицу

2 1 —2

0. 9 —4 -4 3 1

для которой данные векторы служат столбцами. Ранг этой матрицы равен двум: минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но оба минора третьего порядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что векторы а*, а₂ составляют в заданной системе одну из макси­мальных линейно независимых подсистем.

В качестве следствия из теоремы о ранге матрицы докажем утверждение, уже высказанное ранее:

Максимальное число линейно независимых строк всякой мат­рицы равно максимальному числу ее линейно независимых столб­цов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Для доказательства транспонируем матрицу, т. е. сделаем ее стро­ки столбцами, сохраняя их нумерацию. При транспонировании макси­мальный порядок отличных от нуля миноров матрицы не может измениться, так как транспонирование не меняет определителя, а для всякого минора исходной матрицы минор, полученный из него транспонированием, содержится в новой матрице, и обратно. Отсюда следует, что ранг новой матрицы равен рангу исходной матрицы; он равен, вместе с тем, максимальному числу линейно независимых столбцов новой матрицы, т. е. максимальному числу линейно неза­висимых строк исходной матрицы.

7*0.

3

1

-1

РАНГ МАТРИЦЫ

Пример. В§8 уже было введено понятие линейной формы от п не­известных и. определено сложение линейных форм и их умножение на число. Это определение позволяет перенести на линейные формы понятие линейной зависимости со всеми его свойствами.

Пусть дана система линейных форм

/1= *1 + 2*2 + *з + 3д:₄,

/₂ = 4*!— *₂— 5*з — 6*₄,

*1—3*2 4*g 7*4,

/₄ = 2*!+ *2— *₃.

Нужно выделить в ней максимальную линейно независимую подсистему. Составим матрицу из коэффициентов этих форм:

и найдем ее ранг. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, но, как легко проверить, все четыре минора третьего по­рядка, его окаймляющие, равны нулю. Отсюда следует, что первые две строки нашей матрицы линейно независимы, а третья и четвертая будут их линей­ными комбинациями. Система /_х, /₂ будет, следовательно, искомой подсисте­мой заданной системы линейных форм.

Укажем еще одно важное следствие из теоремы о ранге ма­трицы.

Определитель п-го порядка тогда и. только тогда равен нулю, если между его строками существует линейная зависи­мость.

В одну сторону это утверждение уже доказано в § 4 (свой­ство 8). Пусть теперь нам дан определитель п-го порядка, равный нулю, т. е. дана, иными словами, квадратная матрица л-го порядка, единственный минор которой, имеющий максимальный порядок, равен нулю. Отсюда следует, что наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы меньше л, т. е. ранг меньше л, а поэтому, на основании доказанного выше, строка этой матрицы линейно за­висимы.

Понятно, что в формулировке доказанного сейчас следствия можно вместо строк говорить о столбцах определителя.

Для вычисления ранга матрицы существует еще один метод, не связан­ный с теоремой о ранге и не требующий вычисления определителей. Он при­меним, впрочем, только в том случае, если мы хотим знать лишь самый ранг и не интересуемся тем, какие именно столбцы (или строки) составляют ма­ксимальную линейно независимую систему. Изложим этот метод.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

0. перемена мест (транспозиция) двух строк или двух столбцов;

1. умножение строки (или столбца) на произвольное отличное от нуля число;

75

(с) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Легко видеть, что элементарные преобразования не меняют ранга мат­рицы. Действительно, если эти преобразования применяются, например, к столбцам матрицы, то система столбцов, рассматриваемых как векторы, заменяется эквивалентной системой. Докажем это лишь для преобразова­ния (с), так как для (а) и (Ь) это очевидно. Пусть к i-му столбцу приба­вляется /-й столбец, умноженный на число k. Если столбцами матрицы до преобразования служили векторы

сц а«. • • ■. а/. ■ • •. ««.

то после преобразования столбцами матрицы будут векторы сх_х, ..., а_г = а,- + Аау, ..., а^, ..., а„.

Система (2) линейно выражается через систему (1), а равенство

а,- = a_t — ka/

(1)

(2)

показывает, что система (1), в свою очередь, линейно выражается через (2) Эти системы, следовательно, эквивалентны, и поэтому И? максимальные ли­нейно независимые подсистемы состоят из одинакового числа векторов.

Таким образом, при вычислении ранга матрицы можно предварительно ее упростить при помощи некоторой комбинации элементарных преобразо­ваний.

Говорят, что матрица, содержащая s строк и п столбцов, имеет диаго­нальную форму, если все ее элементы равны нулю, кроме элементов а,,, а₂₂, ...,а_ГГ (где 0< г < min (s, ri)), равных единице. Ранг этой матрицы равен, очевидно, г.

Всякую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональной форме.

В самом деле, пусть дана матрица

Если все ее элементы равны нулю, то она уже имеет диагональную форму. Если же в ней есть элементы, отличные от нуля, то транспозицией строк и столбцов можно добиться того, чтобы элемент а_и был отличен от нуля. Умножая затем первую строку на a~f , мы превратим элемент а_п в единицу. Если мы вычтем теперь из /-го столбца, / > 1, первый столбец, умноженный на a_xj. то элемент а,₇- будет заменен нулем. Делая это преобразование со всеми столбцами, начиная со второго, а также со всеми строками, мы при­дем к матрице вида

Совершая такие же преобразования с матрицей, остающейся в правом ниж­нем углу, и т. д., мы после конечного числа шагов придем к диагональной матрице, имеющей тот же ранг, что и исходная матрица А.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы нужно элементарными преобразованиями привести эту матрицу к диагональной форме и подсчитать число единиц, стоящих в последней на главной диагоНалй,

Пример. Найти ранг матрицы

О 2—4 -1 —4 5

0. 1 7

О 5 —10 .230

Переставляя в этой матрице первый и второй столбец, а затем умножая

мы придем к матрице 1 0 —2^

—4	-1	5
1	3	7
5	0	— 10
3	2	0,

Прибавляя к ее третьему столбцу удвоенный первый столбец, а затем при­бавляя некоторое кратное новой первой строки к каждой из остальных строк, мы получим матрицу

( 1	0	O'!
0	—1	—3
0	3	9
0	0	0
10	2	6,

Умножая, наконец, вторую строку на —1, вычитая из третьего столбца утроенный второй столбец, а затем вычитая из третьей и пятой строк не­которые кратные новой второй строки, мы придем к искомой диагональной форме

1	0	O'»
0	1	0
0	0	0
0	0	0
,0	0	0,

Таким образом, ранг матрицы А равен двум.

В гл. 13 мы еще раз встретимся с элементарными преобразованиями и диагональной формой матриц; это будут, впрочем, матрицы, элементами которых являются не числа, а многочлены.