§ 14. Обратная матрица

Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной!), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособен­ной)— в противоположном случае. Соответственно линейное преоб­разование неизвестных называется вырожденным или невырожден­ным в зависимости от того, будет ли равен нулю или отличен от нуля определитель из коэффициентов этого преобразования. Из теоремы, доказанной в конце предшествующего параграфа, выте­кают следующие утверждения:

Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, будет вырожденной матрицей.

Произведение любых невырожденных матриц само будет не­вырожденной матрицей.

Отсюда следует, ввиду связи, существующей между умножением матриц и последовательным выполнением линейных преобразований, такое утверждение: результат последовательного выполнения не­скольких линейных преобразований тогда и только тогда будет невырожденным преобразованием, если все заданные преобразо­вания невырожденные.

Роль единицы в умножении матриц играет единичная мат­рица

1 о ... о О 1 ... о

,0 0 ... 1

причем она перестановочна с любой матрицей А данного порядка,

АЕ = ЕА=А.

Доказываются эти равенства или непосредственным применением правила умножения матриц, или же на основании замечания, что единичная матрица соответствует тождественному линейному пре­образованию неизвестных

Xi=yi,

~ У2>

*_П= Уп,

(1)

выполнение которого до или после любого другого линейного пре­образования, очевидно, не меняет этого последнего.

Заметим, что матрица Е является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (1) при любой матрице А. Действи­тельно, если бы существовала еще матрица £' с этим же свойством, то мы имели бы

Е'Е = ЕЕ'Е = Е,

откуда Е' =Е.

Вопрос о существовании для данной матрицы А обратной ма­трицы оказывается более сложным. Ввиду некоммутативности умно­жения матриц мы будем говорить сейчас о правой обратной ма­трице, т. е. о такой матрице А^-1, что произведение матрицы А справа на эту матрицу дает единичную матрицу,

АА~¹ = Е. (2)

Если матрица А вырожденная, то, если бы матрица Л^-1 существо­вала, произведение, стоящее в левой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица Е, стоящая в правой части этбГо равенства, является невырожденной, так как ее определитель равен единице. Таким об­разом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной ма­трицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.

Переходя к случаю невырожденной матрицы, введем сначала следующее вспомогательное понятие. Пусть дана матрица й-го по­рядка

^aU °12 • • • °Хп °21 °22 • • • ^а2я

^ап1 ^ап2 • • • ⁰ ПП

Матрица

■^11 -^21 • • • 1

•^12 -^22 • • • -^п2

^1П ^2п • ’ • А_пп

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, причем алгебраическое дополнение к элементу а₍у стоит на пересе­чении у-й строки и г-го столбца, называется присоединенной (или взаимной) матрицей к матрице А.

Найдем произведения АА* и А*А. Используя известную из § 6 формулу разложения определителя по строке или столбцу, а также теорему из § 7 о сумме произведений элементов любой строки

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

(столбца) определителя на алгебраические дополнения к соответствен­ным элементам другой строки (столбца), и обозначая через d опре­делитель матрицы А,

d=\A |,

мы получим следующие равенства:

[d 0 ... о\

AA*=A*A = l °_ ^d '■ ⁰ j. (3)

\0 0 ... dj

Отсюда вытекает, что если матрица А невырожденная, то ее присоединенная матрица А* также будет невырожденной, причем определитель d* матрицы А* равен (п—1)-й степени определи­теля d матрицы А.

В самом деле, переходя от равенств (3) к равенству между опре­делителями, мы получим

dd* = сГ,

откуда ввиду d^ О

d* = dⁿ~¹¹).

Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы А и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц АВ и все элементы одного из множителей, например В, разделим на одно и то же число d, то все элементы произведения АВ т^кже разделятся на это же число: для доказательства нужно лишь вспо­мнить определение умножения матриц. Таким образом, если

d = \А | Ф О,

то из равенств (3) вытекает, что обратной матрицей для А будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы А* делением всех ее элементов

I

i-i

97

на	число	d:
Ли	An	Am
d	d	d
to	A22	Afi2
d	d "•	d
Ain	A in	Ann
d	d	d

Можно было бы доказать, что если матрица А вырожденная, то и ее присоединенная матрица А* также вырожденная, причем имеет ранг, не превосходящий числа 1.

Действительно, из (3) вытекают равенства

АА~¹ = А~¹Аг=Е. (4)

Ещв раз подчеркнем, что в г-й строке матрицы Л^-1 стоят алгебраические дополнения к элементам /-го столбца определи­теля |Л|, деленные на d = \A\.

Легко доказать, что матрица Л^-1 является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (4) для данной невырожденной матрицы А. Действительно, если матрица С такова, что

АС = СА=Е,

то

САА~^г = С (АА-¹) = СЕ = С,

САА-¹ = (СА)А~¹ = ЕА-¹ = А-¹,

откуда С = Л^-1.

Из (4) и теоремы об умножении определителей вытекает, что

определитель матрицы Л^-1 равен т-^-,, так что эта матрица также

0. A j

будет невырожденной; обратной для нее служит матрица А.

Если теперь даны квадратные матрицы я-го порядка Л и В, из которых А — невырожденная, а В—произвольная, то мы можем выполнить правое и левое деления В на Л, т. е. решить матрич­ные уравнения

АХ = В, YA = B. (5)

Для этого, ввиду ассоциативности умножения матриц, достаточно положить

Х = Л“¹5, Г=ЛЛ~¹,

причем эти решения уравнений (5) будут, ввиду некоммутативности умножения матриц, в общем случае различными.

Примеры. 1) Дана матрица

3—1 О'

Л = ( —2 1 1

4. —1 4

Ее определитель |Л|=5, поэтому обратная матрица Л^-1 существует, причем

1. 1

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

0. Даны матрицы

-(П). *-(^_3 б)

Матрица А невырожденная, причем

Умножение прямоугольных матриц. Хотя умножение матриц определено в предшествующем параграфе лишь для квадратных матриц одинакового порядка, но его можно распространить и на случай прямоугольных матриц А и В, если только можно применить формулу (3) предшествующего параграфа, т. е. если всякая строка матрицы А содержит столько же элементов, сколько их во всяком столбце матрицы В. Иными словами, можно говорить о произве­дении прямоугольных матриц А и В в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, причем число строк матрицы АВ равно числу строк матрицы А, число же столбцов матрицы АВ равно числу столбцов матрицы В.

Примеры.

,-1 3 0\

/5—1 3 П /—2 1 М /1° 15 —5\

’ U 0 — 1 \) ' ( 3 0 — 2 I VII 10 joJ ’

5. 4 1 2/

0. (5 1 0 _3).|j = -1).

Умножение прямоугольных матриц можно связать с последова­тельным выполнением линейных преобразований неизвестных, если только в определении последних отказаться от предположения, что число неизвестных сохраняется при линейном преобразовании.

Легко проверить также, дословно повторяя доказательство, данное выше для случая квадратных матриц, что закон ассоциа­

99

поэтому решениями уравнений АХ = В, YA = B будут служить матрицы

тивности остается справедливым и для умножения прямоугольных матриц.

Мы воспользуемся сейчас умножением прямоугольных матриц и свойствами обратной матрицы для нового вывода правила Крамера, не требующего тех громоздких вычислений, какие проводились в § 7. Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:

«и*1 + ^й12*₂ + • • • + а_1ях_п= Ь_г,

^а2\^Х1 “Ь ^аъ%^хъ • • • Ч^{- а}2п^Хп ~ ^2> ( ^

^ат^х1 + a_Mx_t + ... + а_ппх_п=Ь_п

причем определитель этой системы отличен от нуля. Обозначим через А матрицу из коэффициентов системы (6); эта матрица невы­рожденная, так как, по предположению, й?==|Л|^=0. Обозначим далее через X столбец из неизвестных, через* В—столбец из сво­бодных членов системы (6), т„ е.

Х= , В=

Произведение АХ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матриц X, причем это произведение будет столб­цом, составленным из левых частей уравнений системы (6). Таким образом, систему (6) можно записать в виде одного матричного уравнения

АХ=В. (7)

Умножая обе части уравнения (7) слева на матрицу Л^-1, сущест­вование которой вытекает из невырожденности квадратной матри­цы А, мы получим:

Х=А~¹В. (8)

Произведение, стоящее справа, будет матрицей из одного столбца; ее у'-й элемент равен сумме произведений элементов у'-й строки матрицы А~¹ на соответственные элементы матрицы В, т. е. равен числу

~J^i + ~сГ + • ■ • + ~ir^bn ⁼ T + ^2*А + ■ • • + AiA»)-

Скобка, стоящая справа, является, однако, разложением по у-му столбцу определителя d ., получающегося заменой у-го столбца опре­делителя d столбцом В. Таким образом, формулы (8) равносильны

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

формулам (3) из § 7, выражающим решение системы (6), получаю­щееся по правилу Крамера.

Остается показать, что полученные значения неизвестных дейст­вительно составляют решение системы (6). Для этого достаточно выражение (8) подставить в матричное уравнение (7), что, очевидно, приводит к тождеству В=В.

Ранг произведения матриц. Теорема об умножении определите­лей не приводит в случае вырожденных матриц ни к какому выска­зыванию сверх того, что их произведение также будет вырожденным, хотя вырожденные квадратные матрицы можно еще различать по их рангам. Заметим, что не существует вполне определенной зависимости между рангами сомножителей и рангом произведения, как показы­вают следующие примеры:

{2 0\ /0 0N /'О 0\

\о о) ‘ Vo зу Vo о) ’

в обоих случаях перемножаются матрицы ранга 1, однако в одном случае произведение имеет ранг 1, в другом — ранг 0. Справедлива, притом не только для квадратных, но и для прямоугольных матриц, лишь следующая теорема. *

Ранг произведения матриц не выше ранга каждого из сомно­жителей.

Достаточно доказать эту теорему для случая двух множителей. Пусть даны матрицы А к В, для которых произведение АВ имеет смысл; обозначим АВ = С. Рассмотрим формулу (3) § 13, дающую выражение элементов матрицы С. Беря эту формулу для данного k и всех возможных i (г = 1, 2, ...), мы получаем, что /г-й столбец матрицы С является суммой всех столбцов матрицы А, взятых с не­которыми коэффициентами (а именно с коэффициентами b_ik, b_2k, ...). Этим доказано, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, а поэтому, как показано в § 9, ранг первой системы меньше или равен рангу второй системы; иными словами, ранг матрицы С не больше ранга матрицы А. Так как, с другой стороны, из той же формулы (3) § 13 при данном / и всех k вытекает, что всякая г-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В, то аналогичными рассуждениями мы получим, что ранг С не выше ранга В.

Более точный результат имеет место для случая,-когда один из множителей является невырожденной квадратной матрицей:

Ранг -произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. Пусть, например,

101

Из предшествующей теоремы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Умножая, однако, равенство (9) справа на Q^-1, мы придем к равенству

A = CQ~\

а поэтому, снова на основании предшествующей теоремы, ранг А не выше ранга С. Сопоставление этих двух результатов доказывает совпадение рангов матриц А я С.