§ 12. Системы линейных однородных уравнений

Применим результаты предшествующего параграфа к случаю системы линейных однородных уравнений:

^й11*1 ~Ь «12*2 «1л* л “

«21*1 + «22*2 +•••+ 0_2пХ_п = О,

«$1*1 + «,2*2 + . . . + «*„*„ ⁼ 0.

Из теоремы Кронекера—Капелли вытекает, что эта система всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно — система'(1) заведомо обладает нулевым решением (0, 0,

Пусть матрица А из коэффициентов системы (1) имеет ранг г. Если г = п, то нулевое petumue бужет единственным решением системы (\)\приг<.п система обладает также решениями, от­личными от нулевого, и для разыскания всех этих решений примет няется тот же прием, как выше в случае произвольной системы уравнений. В частности, система п линейных однородных уравне­ний с п неизвестными тогда и только тогда обладает решениями, отличными от нулевого, если определитель этой системы равен нулю¹). В самом деле, равенство нулю этого определителя равносильно утверждению, что ранг матрицы А меньше п. С другой стороны, если в системе однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система непременно обладает решениями, отличными от нулевого, так как ранг в этом случае не может быть равным числу неизвестных; этот результат уже был получен в § 1 из других соображений.

Рассмотрим, в частности, случай системы, состоящей из п — 1 однород­ных уравнений относительно п неизвестных, причем предположим, что ле­вые части этих уравнений между собой линейно незави­симы. Пусть

/«11 «12 * * *«1л Д t=[ «^S1 «^2а •••«2п

\«Л^1, 1 «И —1,9 «Л-1,!>

0. матрица из коэффициентов этой системы; через М{ обозначим минор (п — 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из матрицы А ее

г-го столбца, /=1,2 п. Тогда одним из решений нашей системы

будет система чисел

М_и -М₂, М» -М₄, ..., (-l)"-¹^, (2)

а всякое другое решение ему пропорционально.

) Одна половина этого утверждения уже была доказана в § 7,

Доказательство. Так как, по условию, ранг матрицы А равен п — 1, то один из миноров Mi должен быть отличен от нуля; пусть это будет М_п. Полагаем в нашей системе неизвестное х_п свободным и переносим его в правую часть каждого из уравнений, после чего получим

^aii*i+ ацХ₂ + - • •+ ^ai, n-i^xn-i— —^ат^хп> ^аП^х1 + 0,^2^Х2 ~Ь 4" ^а2,п — 1^Хп—1~ ^a2n^Xti’

^ап-1, 1^х1 + ^ап-1, * + • ■ • + ^ая-1, п-1^хп-1 ^ап-1,п^хп-

Применяя затем правило Крамера, мы получим общее решение заданной системы уравнений, которому после легких преобразований можно придать вид

. М-

*/ = (-1 )^a~^ljf_n^xn, <=1,2 п-1. (3)

Положивх_п — (—\)^п~¹М_п, мы получим: */ = (—I)^,n“'^-1Af/, t=l,2 ft—I,

или, _г так как разность ,(2л—i—1)—-(/— 1) = 2л—2i есть четное, число, *,• = (—l)^I-IAf,-, т. е. система чисел (2) действительно будет решением нашей системы уравнений. Любое другое решение этой «системы получается из формул (3) при другом числовом значении неизвестного х_п, и поэтому оно пропорционально решению (2). Понятно, что, рассматриваемое утверждение справедливо и в том случае, когда М_п = 0, но один из миноров М,-, 1< —1, отличен от нуля.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают сле­дующими свойствами. Если вектор p = Ь_г, ..Ь_п) является реше­нием системы (1), то при любом числе k вектор Ар = (kb_lt kb₂, ...,kb_n) также будет решением этой системы, что проверяется непосредствен­ной подстановкой в любое из уравнений (1). Если, далее, вектор <у = (с_х, с₂, ..., с„) — еще одно решение системы (1), то для этой системы служит решением и вектор р +y = (^i + ^ci> 6₂ + с₂, •••

• • *! ^П+ ^СпУ-

S ^аи (^bJ + ^ci^{) =} 2 ^aU^bi + % ^a4^ci = °> * = 1.². •••.«■

/=i /=i /=i

Поэтому вообще всякая линейная комбинация решений однород­ной системы (1) будет сама решением этой системы. Заметим, что в случае неоднородной системы, т. е. системы линейных урав­нений, свободные чл&ны которых не все равны нулю, соответствую­щее утверждение не имеет места: ни сумма двух решений системы неоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы на число не будут уже служить решениями для этой системы.

Мы знаем из § 9, что всякая система л-мерных векторов, со­стоящая более чем из п векторов, будет линейно зависимой. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (1), являющихся, как мы знаем, л-мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему, максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (1) будет линейной

комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1) называется ее фундаментальной системой решений.

Еще раз подчеркнем, что п-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (1), если он является линейной ком­бинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.

Понятно, что фундаментальная система будет существовать лишь в том случае, если система (1) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неиз­вестных. При этом система (1) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны, однако, между собой, так как каждый вектор всякой из этих систем линейно выражается через любую другую систему, и поэтому системы состоят из одного и того же числа решений.

Справедлива следующая теорема:

Если ранг г матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных п, то вся­кая фундаментальная система решений системы (1) состоит из п — г решений.

Для доказательства заметим, что п—г является числом свобод­ных неизвестных в системе (1); пусть свободными будут неизвест­ные x_r+v х_г+2, х_п. Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель d порядка п—г, который запишем в следующем виде:

	cl, r + l>	cl,	Г + 2' • •	> cln
d =	C2, r + l>	C2> r + 2'		> C2 n
	cn-r, r+l>	c„-	Г1 Г + 21 • •	• > cn-r> n

Беря элементы г-й строки этого определителя, 1<:г=^я — г, в ка­честве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, получим однозначно определенные значения для неизвестных jc₁, х₂, ..., х_г, т. е. придем к вполне определенному решению системы уравнений (1); запишем это решение в виде вектора

^aj^,== (^С(1> ^С12> • • •) ^cin ^ci, r + l’ ^ci, r + 2> • • •» ^cin)'

Полученная нами система векторов a_l7 а₂, ..а„__г служит для системы уравнений (1) фундаментальной системой решений. В самом деле, эта система векторов линейно независима, так как матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля минор d порядка п—г. С другой стороны, пусть

Р ~\PlJ ^2! • * •> bfi b_{r + 1}, b_{r +} 2, ..., b^j

будет произвольное решение системы уравнений (1). Докажем, что вектор р линейно выражается через векторы а_х, а₂, а„__г.

Обозначим через ос', / = 1, 2, п — г, i-ю строку определи­теля d, рассматриваемую как (п — г)-мерный вектор. Положим, далее,

Р ~ (Ь_{Г +} 1, &г + 2, • • • ) Ь_п).

Векторы а', 1 — 1, 2, ...,п — г, линейно независимы, так как d^O. Однако система (п — г)-мерных векторов

«1-р'

линейно зависима, так как в ней число векторов больше их размер­ности. Существуют, следовательно, такие числа k_t, k₂, ...,k_n__r, что

Р' = k_ia₁ + &₂а_г + ... + k_n__ra'_n__r. (4)

Рассмотрим теперь я-мерный вектор

6 = + • * • ^n—r^n—r Р*

Вектор б, являясь линейной комбинацией решений системы однород­ных уравнений (1), сам будет решением этой системы. Из (4) сле­дует, чю в решении б значения для всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное решение системы уравнений (1), которое получается при равных нулю значениях для свободных не­известных, будет нулевым решением. Таким образом, 6 = 0, т. е.

Р = fe_xa_x + &₂ СС₂ + • • < + k_n-r^ari-f

Теорема доказана.

Заметим, что проведенное выше доказательство позволяет утвер­ждать, что мы получим все фундаментальные системы решений системы однородных уравнений (1), беря в качестве d всевозможные отличные от нуля определители порядка п — г.

Пример. Дана система линейных однородных уравнений

3*^ + *₂— 8лг₃+ 2*₄ + л;₅ = 0, \

2х_х— 2%— З*₃— 7*₄+ 2*_б = О, I

*1 + 11*2—12*з + 34*₄—5*5 = 0, I

*!— 5*2+ 2*3—16*4 + 3*5 = 0. J

Ранг матрицы из коэффициентов равен двум, число неизвестных равно пяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы урав­нений состоит из трех решений. Решим систему, ограничиваясь первыми

двумя линейно независимыми уравнениями и считая х₃, х₄, х_ъ свободными неизвестными. Мы получим общее решение в виде

*2 g *3 g *4 ~Ь 2

7 25 , 1

Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектора (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Подставляя компоненты каждого из них в общее решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя зна­чения для Xi и х₂, мы получим следующую- фундаментальную систему ре­шений заданной системы уравнений:

Мы закончим параграф рассмотрением связи, существующей ме­жду решениями неоднородных и однородных систем. Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:

&11^Х1 Ч^- ^12-^2 + • • • "Г ^а1п^Хп ~ Ь\1 ^

^а21^Х1 ^а22^Х2 Н^- • • • Ч- ®2п^Хп — ^21

^аА* 1 + ^ая*г + • • • + V» = Ъ_г

Система линейных однородных уравнений:

(5)

<*11*1 + <*12*2 + • • • + «хА = 0. '

&21^Х1 “Ь «2»*» ⁼

«,1*1 + ^as2^X2 + • • • + ^asn^Xn = 0,

(6)

>

полученная из системы (5) заменой свободных членов нулями, назы­вается приведенной системой для системы (5). Между решениями систем- (5) и (6) существует тесная связь, как показывают следую­щие две теоремы.

0. Сумма любого решения системы (5) с любым решением при­веденной системы (6) снова будет решением системы (5).

В самом деле, пусть с_х, с₂, ..., с_п—решение системы (5), d_lt d₂, ..., d_n — решение системы (6). Берем любое из уравнений системы (5), например k-e, и вставляем в него вместо неизвестных числа + c₂ + rf₂, c_n-\-d_n. Мы получим:

п

п

п

2 ^akj (^CJ + dj) — 2 ^akj^cj + 2 ^akj^dj — h + ® ~ h'

/=1

/=1

0. Разность любых двух решений системы (5) служит реше­нием для приведенной системы (6).

Действительно, пусть с₁₍ с₂, ..., с_п и с', с', — решения

системы (5). Берем любое из уравнений системы (6), например k-e, и подставляем в него вместо неизвестных числа

^ci ^сх> ^с2 ^с₂> •••> ^Сп ^с_п-

Мы получим:

п п п

2 a_ki («у - с]) = 2 ^ak/°j - 2 ^aki^c)=^bk-K=°- i=i /=i /=i

Из этих теорем вытекает, что, найдя одно решение системы линейных неоднородных уравнений (5) й складывая его с каждым из решений приведенной системы (6), мы получим все решения системы (5).

АЛГЕБРА МАТРИЦ § 13. Умножение матриц

В предшествующих главах понятие матрицы было использовано в качестве существенного вспомогательного, орудия при изучении систем линейных уравнений. Многочисленные другие применения этого понятия сделали его предметом большой самостоятельной тео­рии, во многих своих частях выходящей за пределы нашего курса. Мы займемся сейчас основами этой теории, начинающимися с того, что в множестве всех'квадратных матриц данного порядка своеобраз­ным, но вполне мотивированным способом определяются две алге­браические операции — сложение и умножение. Мы начнем с опре­деления умножения матриц; сложение матриц будет введено в § 15.

Из курса аналитической геометрии известно, что при повороте осей прямоугольной системы координат на плоскости на угол а координаты точки преобразуются по следующим формулам:

х—х' cosa—у' sina, у=х' sin а-\-у' cosa,

где х, у — старые координаты точки, х', у' — ее новые координаты; таким образом, х и у выражаются через х’ и у' линейно с некото­рыми числовыми коэффициентами. Во многих других случаях также приходится встречаться с заменой неизвестных (или переменных), при которой старые неизвестные линейно выражаются через новые; такую замену неизвестных называют обычно их линейным преобра­зованием (или линейной подстановкой). Мы приходим, следовательно, к такому определению:

Линейным преобразованием неизвестных называется такой пере­ход от системы п неизвестных х_ъ х_г, . . ., х_п к системе п неизве­стных у_ъ у₂, . . ., у_п! при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми числовыми коэффициентами:

^xi = ^аиУ 1 + ^а1ьУи + • • • + а_1пУ„, ^хг ~ ^аг\У\~Ь ^ааУ‘2. "Ь ■ • ■ ~Ь ^а2пУп’

Линейное преобразование (1) вполне определяется своей матри­цей из коэффициентов

^аи ^fl12 • • • ^а1п\

#21 ^а22 • • • ^а2п j

^ап1 ^ап% • * • ^апп/

так как два линейных преобразования с одной и той же матрицей могут отличаться друг от друга лишь буквами, принятыми для обо­значения неизвестных; мы будем считать, одйако, что выбор этих обозначений целиком находится в нашем распоряжении. Обратно, задавая произвольную матрицу л-го порядка, мы сейчас же можем написать линейное преобразование, для которого эта матрица служит матрицей коэффициентов. Таким образом, между линейными преоб­разованиями п неизвестных и квадратными матрицами л-го порядка существует взаимно однозначное соответствие, а поэтому всякому понятию, связанному с линейными'преобразованиями, и всякому свой­ству этих преобразований должно соответствовать аналогичное поня­тие или свойство, относящееся к матрицам.

Рассмотрим вопрос о последовательном выполнении двух линей­ных преобразований. Пусть вслед за линейным преобразованием (1) выполнено линейное преобразование

У г = *11*1 + *12*2 + • • • + hn^Zn.

У г — Ь₂₁г_г + -f-.. . -j- b_2nz_n,

Уп — b_nxz_x + b_n2z₂ + ... -f b_nttz_n,

переводящее систему неизвестных y\,y₂, ...,y_nв систему г_ъ z₂, ...,z_n; матрицу этого преобразования обозначим через В. Подставляя в (1) выражения для^, _у₂, .. ,,у_п из (2), мы придем к линейным выраже­ниям для неизвестных х_и х₂, ..., х_п через неизвестные г_г, z₂, ..., z_n. Таким образом, результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных снова будет линейным преобразованием.

Пример. Результатом последовательного выполнения линейных пре­образований

*, = 3Ух —У ₂, У_х = Z_t + z₂,

Н=У\ +%2. У 2 = 4z;. + 2z_a будет линейное преобразование

*l ⁼ 3(z_l+Z₂)— (4Z!+22₂)=—Z! + 2j,

*2 7= (^г1 + ^гг) + 5 (4zj + 2z₂) =21гх + llz₂.

Обозначим через С матрицу линейного преобразования, являюще­гося результатом последовательного выполнения преобразований (1) и (2), и найдем закон, по которому ее элементы c_ik, i,k= 1, 2, . ..,л,

выражаются через элементы матриц А м. В. Коротко записывая пре­образования (1) и (2) в виде

П П

*1^=ЩЕ^а1/’Ур *=1,2,..., л; у,= У=1. ². •••> ^л>

У = 1 А = 1

мы получим

*<• = 2^аи {2 ^bjk^zk^ = 2 (2^an^bik)i=i. 2,..., п.

/=i \ft=i / \/=i /

Таким образом, коэффициент при в выражении для лг_г, т. е. эле­мент c_ik матрицы С, имеет вид

П

Cik = 2 ^a4^bjk = ^ail^blh + ^ai1^b2k + • • • -f ^ain^bnk’ (3)

i-i

элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и k-м столбце, ра­вен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.

Формула (3), дающая выражение элементов матрицы С через элементы матриц А к В, позволяет при заданных матрицах А и В сразу написать матрицу С, минуя рассмотрение линейных преобра­зований, соответствующих матрицам Лий. Этим путем всякой паре квадратных матриц л-го порядка ставится в соответствие однозначно определенная третья матрица. Можно сказать, что мы определили в множестве всех квадратных матриц л-го порядка алгебраическую операцию; она называется умножением матриц, а матрица С— произведением матрицы А на матрицу В:

С = АВ.

Еще раз сформулируем связь между линейными преобразованиями и умножением матриц:

Линейное преобразование неизвестных, полученное в резуль­тате последовательного выполнения двух линейных преобразо­ваний с матрицами А и В, имеет своей матрицей коэффициен­тов матрицу АВ.

Примеры.

Г 4 9W 1 -3W 4-1+9-(—2) 4-(-3) + 9.1\_ Н-1 зМ-2 U \( —1)*1+3'( — 2) (—1)• (—3)-f-3-iy

/2 0 1ч /—3 1 0\ /— 6 1 3\

2) ( —2 3 2 ] . ( 0 2 1 ) = ( 6 2 9 ). V 4—15/ V 0—13/ 4 — 12 —3 14/

4) Найти результат последовательного выполнения линейных преобразо­ваний

*1 = ⁵^1—Уз + З^₃,

= */х—2 Уз,

*3 = 7 и* у₃

и

yy = 2Zi + 2₃,

у 2 = z₂ 5 z_s,

2/з= 2г₂.

Перемножая матрицы, получим:

/5—1 3\ /2 О К /10 5 10ч (1 —2 0 } I (0 1 — 5)Ц 2 —2 11),

\0 7 —1/ \0 2 0/ \ 0 5 —35/

поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:

*1= 10.?! + 5г₂ + 10z₃,

^==22!—2г₂+11г₃, х₃ = 5z₂—35z₃.

Возьмем один из рассмотренных сейчас примеров умножения матриц, например 2), и найдем .произведение тех же матриц, но взятых в обратном порядке:

/—3 1 0\ / 2 0 1\ г — 8 3 —1\

О 2 1.-2 ^{3 2} 1= ^{0 5 9} . у 0 —1 Зу \ 4—1 5 j \ 14 —6 13 у

Мы видим, что произведение матриц зависит от порядка мно­жителей, т. е. умножение матриц некоммутативно. Этого, впро­чем, следовало ожидать, уже хотя бы потому, что в определение матрицы С, данное выше при помощи формулы (3), матрицы А и В входят неравноправным образом: в А берутся строки, в В— столбцы.

Примеры неперестановочных матриц л-ro порядка, т. е. матриц, произведение которых меняется при перестановке сомножителей, можно указать для всех л, начиная с л = 2 (матрицы второго по­рядка в примере 1) неперестановочны). С другой стороны, две дан­ные матрицы случайно могут оказаться перестановочными, как по­казывает следующий пример:

/ 7 —12\ /26 45\ /26 45\ / 7 —12\ /2 3\

V—4 7у * (,15 26y = Vl5 26/ ‘ V —⁴ 7/ = (^1 2У ‘

Умножение матриц ассоциативно■ можно говорить, следова­тельно, об однозначно определенном произведении любого конеч­ного числа матриц л-го порядка, взятых (ввиду некоммутативности умножения) в определенном порядке.

Доказательство. Пусть даны три произвольные матрицы й-го порядка Л, В и С. Запишем их следующим сокращенным спо­собом, указывающим общий вид их элементов: A~(a_i}), £=(&₍-_;), С=(с_;у). Введем, далее, следующие обозначения:

АВ= U= (и,₇), ВС= V= (v_u),

(АВ) (_%), А (ВС) = Т= (t_u).

Нам нужно доказать справедливость равенства (АВ)С—А(ВС), т. е. S—T. Однако

П П

*и = 2 в/Аг, ^vkj= 2 b_ktc_tJ,

fe = l I =1

и поэтому, ввиду равенств S=UC, T—AV,

п п п

^s/j⁼⁼ 2 ^ии^си— 2 2 °iФы^с1]'

I-1 1=1k~\

п п п

Uj~ 2 ^aik^vkj⁼ 2 2 ^aik^kf tj<

A=l k = 1 / = 1

т. е. Sjj — t{/ при-i,- /'= 1, 2, п.

Дальнейшее изучение свойств умножения матриц требует привле­чения их определителей, причем мы условимся для краткости обо­значать определитель матрицы А через |Л|. Если читатель в каждом из рассмотренных выше примеров подсчитает определители пере­множаемых матриц и сравнит произведение этих определителей с определителем произведения заданных матриц, то обнаружит весьма любопытную закономерность, выражаемую следующей очень важной т е о р е м о й об умножении определителей:

Определитель произведения нескольких матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Достаточно доказать эту теорему для случая двух матриц. Пусть даны матрицы л-ro порядка А —(а₍.у) и В*=(Ьц) и пусть АВ = = C—{c_ij). Построим следующий вспомогательный определитель А порядка 2/г. в его левом верхнем углу поставим матрицу А, в пра­вом нижнем — матрицу В, весь правый верхний угол займем нулями и, наконец, по главной диагонали левого нижнего угла поставим число —1, заняв все остальные места также нулями. Определитель А имеет, следовательно, такой вид:

«11	«12 •	■ • а1л	0	0 .	.. 0
«21	агг •	• • а2п	0	0 .	.. 0
ап1	«пг •	• • апп	0	0 .	.. 0
-1	0 .	.. 0	Ьи	612 .	• • bln
0 -	-1 .	.. 0	Ьц	&2а •	• • bin
0	0 ...	— 11	'п1	Ьц2 • I	* bnn

Применение к определителю А теоремы Лапласа — разложение по первым п срокам — приводит к следующему равенству:

Д = |Л|.|В|. (4)

Попытаемся, с другой стороны, так преобразовать определитель А, не меняя его значения, чтобы все элементы b_if, i, j= 1,2, .. .. , п, оказались замененными нулями. Для этой цели к (я-f 1)-му столбцу определителя А прибавим его первый столбец, умноженный на Ь_1Ъ второй, умноженный на Ь₂₁, и т. д., наконец я-й столбец, умножен­ный на Ь_п1. Затем к (л + 2)-му столбцу определителя А прибавим первый столбец, умноженный на Ь₁₂, второй, умноженный на Ь₂₂, и т. д. Вообще, к («+j)-му столбцу определителя А, где j = = 1,2, ... , п, мы прибавим сумму первых я столбцов, взятых, со­ответственно, с коэффициентами Ь_1}-, b_2j, ... , b_nj.

Легко видеть, что эти преобразования, не меняющие определи­теля, на самом деле приводят к замене всех*элементов Ьц нулями. Одновременно вместо нулей, стоявших в правом верхнем углу опре­делителя, появятся следующие числа: на пересечении i-й строки и (й + /)-го столбца определителя, i, j= 1, п, будет стоять

теперь число a_ixb_xj-\- a,-₂£_2/+ ... +a_inb_n}, равное, ввиду (3), эле­менту Сц матрицы С — АВ. Правый верхний угол определителя за-, нимает теперь, следовательно, матрица С:

°11	°12	■.. Oin	си	Cl2 . ..	ст
°21	°22	... а2п	С21	С22 • •	• С2л
“»1		• • • апп	С„1	Сп2 ...	спп
— 1	0	... 0	0	0 ...	0
0	— 1	... 0	0	0 ...	0
0	0	... —1	0	0 ...	0

Применим еще раз теорему Лапласа, разлагая определитель по последним п столбцам. Дополнительный минор для минора |Cf равен (—1)^л, а так как минор |С| расположен в строках с номерами 1, 2, ..., п и в столбцах с номерами я+ 1, я + 2, ... , 2п, причем

0. + 2-}-..,-|-я + (я + 1) + (я + 2) + »** + 2л = 2/z² -f- п,

то

Д = (_1)2"²+»(_1)»|С| = ( —1)^2(пг+п)|С| или, ввиду четности числа 2 (п^%-\-п),

(5)

95

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Теорема об умножении определителей могла бы быть доказана и без использования теоремы Лапласа. Одно из таких доказательств читатель найдет в конце § 16.