§ 15. Сложение матриц и умножение матрицы на число

Для квадратных матриц порядка п следующим образом опреде­ляется сложение:

Суммой А + В двух квадратных матриц А = (a_ij) и В = (b_tj) порядка п называется матрица C=(c_ij), всякий элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А я В;

Определенное нами сложение матриц будет, очевидно, коммута­тивным и ассоциативным. Для него существует обратная операция — вычитание, причем разностью матриц Л и В служит матрица, состав­ленная из.разностей соответственных элементов заданных матриц. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная сплошь из нулей; в дальнейшем эта матрица обозначается символом 0: нет серьезной опасности смешать нулевую матрицу с числом нуль.

Сложение квадратных матриц и цх умножение, определенное в § 13, связаны законами дистрибутивности.

В самом деле, пусть даны три матрицы порядка п, А = (ац), B=(b;j), С = (с_;у). Тогда для любых i и j имеет место очевидное равенство

П П П

0. к-, ^sf 2 2

S=1 S =1 S=l

Однако левая часть этого равенства есть элемент, стоящий в г-й строке и j-м столбце матрицы (Л+5) С, правая часть — элемент, стоящий на этом же месте в матрице АС-\-ВС. Этим доказано равенство

(А + В)С = АС+ВС.

Равенство С(А-\- В) = СА-\-СВ доказывается таким же путем — некоммутативность умножения матриц требует, понятно, доказа­тельства этих обоих законов дистрибутивности.

^г) Можно было бы, конечно, и произведение матриц определить столь же естественным способом, перемножая соответственные элементы. Такое умно­жение, однако, в отличие от того, которое определено в § 13, не нашло* бы никаких серьезных применений.

Введем следующее определение умножения матриц на число. Произведением kA квадратной матрицы А = (а^ на число k называется матрица А' — (а'р, получающаяся умножением на k всех элементов матрицы А;

С одним примером такого умножения матрицы на число мы уже встречались в предшествующем параграфе: если матрица А невырож­денная, причем \A\ = d, то ее обратная матрица А~¹ и присоеди­ненная матрица А* связаны равенством

A~¹ = d~¹A*.

Как мы знаем, всякую квадратную матрицу порядка п можно рас­сматривать как я²-мерный вектор, причем это соответствие между матрицами и векторами взаимно однозначное. Определенные сейчас сложение_матриц и умножение матрицы на число превращаются при этом в сложение векторов и умножение вектора на число. Таким образом, совокупность квадратных матриц порядка п можно рассматривать как п²-мерное векторное пространство.

Отсюда вытекает справедливость следующих равенств (здесь А, В—матрицы порядка п; k, I—числа, 1 — число единица):

k(A + B) = kA + kB, (1)

(k+l)A = kA + lA, (2)

k(lA) = (kl)A, (3)

0. А = А. (4)

Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует, вместе с тем, очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц, а именно:

(kA) В —A (kB) = k (АВ), (5)

т. е. если в произведении матриц один из множителей умно­жается на число k, то и все произведение будет умножаться на k.

В самом деле, пусть даны матрицы Л = (а_/;) и B=(bjj) и число k. Тогда для любых i и j будет:

П П

6. i^kais) b_sj=k 2 «/А/-

S=1 S=1

Левая часть этого. равенства есть, однако, элемент, стоящий в г-й строке и J-м столбце матрицы (kA) В, правая часть —элемент,

стоящий на этом же месте в матрице k{AB). Этим доказано равенство

(kA)B=k(AB).

Равенство A(kB) = k(AB) доказывается таким же путем.

Операция умножения матрицы на число позволяет ввести новый способ записи матриц. Обозначим через Ец матрицу, в которой на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит единица, а все осталь­ные элементы равны нулю. Полагая г = 1,2, ... , п и j== 1, 2, мы получим п² таких матриц E_tj, которые связаны, как легко про­верить, следующей таблицей умножения:

^*i/> _sEtj — § при S=£d.

Матрица kE_{j отличается от матрицы E_tj лишь тем, что в ней на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число k. Учитывая это и используя определение сложения матриц, мы получаем следующую запись для произвольной квадратной матрицы А:

/ ^а11 ^а12 • • • ^а1п \ _п п

А = I “²¹_ “²². S S ^ацЕ_ф (6)

\^ап1 ^ап2 ' * ' ^апп/

причем матрица Л обладает, очевидно, лишь единственной записью вида (6).

Матрица НЕ, где Е-^единичная матрица, имеет, по определению , умножения матрицы на число, следующий вид:

т. е. на главной диагонали стоит одно и то же число k, а все эле­менты вне этой диагонали равны нулю. Такие матрицы называются скалярными.

Определение сложения матриц приводит к равенству

kE+lB=(k + l)E. (7)

С другой стороны, используя определение умножения матриц или же опираясь на равенство (5), получаем:

kE‘lE=(kI)E. . (8)

Умножение матрицы А на число k можно истолковать как умножение А на скалярную матрицу kE в смысле перемножения матриц. Действительно, по (5),

(kE).A = A{kE)=*kA.

Отсюда вытекает также, что всякая скалярная матрица пере­становочна с любой матрицей А. Очень важно, что скалярные матрицы являются единственными, обладающими этим свойством:

Если некоторая матрица С= п-го порядка перестановочна с любой матрицей этого же порядка, то матрица С скалярна.

В самом деле, положим i Ф j и рассмотрим равные между собой, по условию, произведения СЕ_i}- и Е^С (см. выше определение мат­рицы Ец). Легко видеть, что все столбцы матрицы СЕц, кроме у-го, состоят из нулей, a j-й столбец совпадает с t-м столбцом матрицы С; в частности, на пересечении t-й строки и j-го столбца матрицы СЕц стоит элемент c_i{. Аналогично все строки матрицы E_{jC, кроме t-й, состоят из нулей, а t-я строка совпадает с j-й строкой матрицы С; на пересечении t-й строки и j-го столбца матрицы Е^С расположен элемент с_;у. Используя равенство СЕ_1} = ЕцС, мы получаем, что Cu*=Cjj (как элементы, стоящие в равных между собой матрицах на одинаковых местах), т. е. все элементы главной диагонали мат­рицы С равны между собой. С другой стороны, на пересечении j-й строки и /-го столбца матрица СЕ^ стоит элемент Cj_{; но в мат­рице ЕцС на этом же месте стоит нуль (ввиду i j), и поэтому Cji — 0, т. е. всякий элемент матрицы С, расположенный вне глав­ной диагонали, равен нулю. Теорема доказана.