6.3. Пример использования принципа при моделировании системы
Процесс, происходящий в фильтре (рис. 4), описывается дифференциальным уравнением:
(1)
Рис. 4. Структурная схема дифференцирующего фильтра
В уравнении:
K- коэффициент усиления;
х(t) – входной сигнал.
Доказано, что:
Преобразуем
математическую модель фильтра к виду,
позволяющему применить принцип
t.
В простейшем случае достаточно уравнение
(1) аппроксимировать конечно-разностным
уравнением:
Это соответствует итерационной формуле:
(3).
Задав начальное условие Z(t0)=Z0 можно построить траекторию процесса, происходящего в фильтре, с целью получения текущего значения производной любой детерминированной функции x(t), подаваемой на вход.
Пример.
Пусть
шаг
=0,01;
x(t)=sin(t)+cos(t); Z(0)=0,5; N=1000.
В табл. 1 приведены результаты вычислений. Порядок вычислений следующий.
1. Зададим моменты времени t, в которые вычисляются значения производной (второй столбец в табл. 1).
2. Вычислим: К=1/ =100.
3. Вычислим значения входного сигнала в моменты t: х(t)= sin(t)+cos(t) (третий столбец табл. 1).
4.
Вычислим
:
вычисляется
по формуле 2, так как
=1,
то после преобразования формула 2 имеет
вид:
;
=0,5 (см. табл. 1).
5.
Вычислим
- значения
производной
в моменты времени t
на основе имитационного метода (пятый
столбец табл. 1).
6. Вычислим значения производной в моменты времени t на основе аналитического метода по формуле: x’(t)=cos(t)-sin(t) (шестой столбец табл. 1).
7. Построим линейный график траекторий изучаемых процессов. На рис. 5 приведены графики исходной функции x(t) и производных x’(t), рассчитанных имитационным методом и аналитическим.
При построении графика не учитывается первая строка табл. 1, так как значение производной, вычисленной имитационным методом, в момент времени 0 соответствует переходному процессу в дифференцирующем фильтре и поэтому значительно отличается от значения производной, вычисленной аналитически. Продолжительность переходного процесса в фильтре зависит от задания начального значения . В данном случае переходный процесс продолжается один временной такт.
Произвести все расчеты и построить линейный график траекторий изучаемых процессов можно средствами MS Excel.
Таблица 1.
i |
t |
|
|
= |
x'(t) |
0 |
0 |
1 |
0,5 |
50 |
0,98995 |
1 |
0,01 |
1,00995 |
1 |
0,995 |
0,979801 |
2 |
0,02 |
1,019799 |
1,00995 |
0,985 |
0,969555 |
3 |
0,03 |
1,029546 |
1,019799 |
0,975 |
0,959211 |
4 |
0,04 |
1,039189 |
1,029546 |
0,964 |
0,948771 |
5 |
0,05 |
1,048729 |
1,039189 |
0,954 |
0,938237 |
6 |
0,06 |
1,058165 |
1,048729 |
0,944 |
0,927608 |
7 |
0,07 |
1,067494 |
1,058165 |
0,933 |
0,916887 |
8 |
0,08 |
1,076716 |
1,067494 |
0,922 |
0,906074 |
9 |
0,09 |
1,085831 |
1,076716 |
0,912 |
0,895171 |
… |
0,1 |
1,094838 |
1,085831 |
|
|
Рис. 5. Графики траекторий изучаемых процессов: исходной функции x(t) и производных x’(t), рассчитанных имитационным методом и аналитическим
Визуальный анализ графика (рис. 5) позволяет сделать вывод о статистической близости результатов, полученных при вычислении производной аналитическим и имитационным методами.