7.2. Методы имитационного моделирования случайных величин

Моделирование непрерывной случайной величины. Метод обратной функции

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин, можно воспользоваться методом обратной функции. Если случайная величина Y имеет плотность распределения f(y), то распределение случайной величины

является равномерным на интервале (0,1). Чтобы получить число, принадлежащее последовательности случайных чисел {y_i}, имеющих функцию плотности f(y), необходимо разрешить относительно y_i уравнение

где x_i - число, принадлежащее последовательности случайных чисел равномерно распределенных на интервале от (0,1).

Пример. Необходимо получить случайные числа с показательным (экспоненциальным) законом распределения (например, интервалов времени между поступлениями заявок на обслуживание):

.

- случайное число, имеющее равномерное распределение на интервале (0,1). Тогда

Этот способ получения случайных чисел с заданным законом распределения имеет ограниченную сферу применения, так как для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах моделирования, интеграл не берется, т.е. приходится прибегать к численным методам решения, что увеличивает затраты вычислительных ресурсов на получение каждого числа; даже для случаев, когда интеграл берется в конечном виде получаются формулы, содержащие действия логарифмирования, извлечения корня и т.д., что также резко увеличивает затраты машинного времени на получение каждого случайного числа. Поэтому на практике часто пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел, которые можно классифицировать следующим образом:

а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида; б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.

Метод, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности распределения. Рассмотрим приближенный универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {y_j} с функцией плотности f_(y) , значения которой лежат в интервале (a,b). Разобъем интервал (a,b) на m интервалов (рис. 8), и будем считать f_(y) на каждом интервале постоянной. Разбивать необходимо так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a_k, a_k+1) была постоянной, т.е.:

Рис. 8. Кусочная аппроксимация функции плотности

В таком случае, алгоритм этого способа получения случайных чисел сводится к выполнению следующих действий:

1) Генерируется случайное равномерно распределенной число x_i из интервала (0,1);

2) с помощью этого числа выбирается интервал (a_k, a_k+1);

3) генерируется число x_i+1 ;

4) вычисляется случайное число y_j =a_k+ x_i+1(a_k+1-a_k) с требуемым законом распределения.

Рассмотрим пример применения способа преобразования последовательности равномерно распределенных случайных чисел {x_i} в последовательность с заданным законом распределения {y_i} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом распределения, т.е. не являются универсальными.

Приближенный метод генерации последовательности значений нормально распределенной СВ. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {y_i}, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением :

Рис. 9. Вид нормального распределения

Будем формировать случайные числа t_j в виде сумм последовательностей случайных чисел {x_i}, равномерно распределенных на интервале от (0,1). Можно воспользоваться центральной предельной теоремой: Если X₁ , X₂,..., X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание M(X_i)=a и дисперсию ², то при N   сумма асимптотически нормальна с математическим ожиданием Na и средним квадратическим отклонением . Практически достаточно N=812, а в простейших случаях - 45. Преимущество этого способа - высокое быстродействие. Недос­татком является игнорирование «хвостов» нормального распределе­ния, которые могут уходить в обе стороны от величины т на рас­стояние, превышающее 6. Поэтому при проведении особо точных экспериментов применяются другие - более точные (но более мед­ленные) способы. В современных системах имитационного моделирования обычно используются не менее двух программных датчи­ков случайных величин, распределенных по нормальному закону (их выбор осуществляется автоматически управляющей программой).

Метод Неймана. Метод Неймана является универсальным. Единственным ограничением его применения является то, что СВ должна задаваться усеченным законом, или законом, который может быть аппроксимирован усеченным.

Рис. 10.

На рис. 10 изображено - функция плотности распределения случайной величины , заданная на интервале . Максимальное значение функции обозначено W.

Метод состоит в следующем:

1. С помощью датчика случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1), выбирают пары чисел . (точка на рис. 4).

2. Формируется преобразованная пара чисел, равномерно распределенных на интервале соответственно и :

Проверяется выполнение неравенства

Если оно выполнено, то и есть искомое значение случайной величины . На рис. 10 это соответствует первой координате точки . В противном случае вновь генерируются случайные числа и алгоритм повторяется заново.